Minimalpolynom

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Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »
Minimalpolynom
hallo

ich soll das Minimalpolynom über von doch mir fehlt leider jeder Ansatz!

vielleicht kann ja jemand helfen?
m-power Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo!

Überlege dir (bzw. rufe dir ins Gedächtnis), welche Eigenschaften ein Minimalpolynom eines Elements erfüllen muss.

Die wichtigste Eigenschaft hier ist, dass das Element eine Nullstelle deines gesuchten Minimalpolynoms ist.

Um das Minimalpolynom zu finden, klammere aus und überlege dir, wie du das entstehende "wegbekommst".

Tipp: Das Minimalpolynom von über ist vom Grad 4. Es hat genauer gesprochen folgende Form: , das heißt also, dass weder noch auftauchen. Übrigens sind positiv.

Gruß,
m-power
 
 
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

okay also

aber mit dem z komm ich nicht so klar es sollte doch x sein verwirrt
m-power Auf diesen Beitrag antworten »

Das Minimalpolynom von über ist .

Damit hast du die Aufgabe im Prinzip gelöst. Du musst nur noch die Minimalität nachweisen...

Bye,
m-power

PS: Mit welchem Buchstaben man das Element nun bezeichnet, ist doch wirklich unerheblich.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

da kommt der haken wie weise ich denn die minimalität nach (es darf ja kein polynom von geringerem grad existieren und die gleichen eigenschaften haben) verwirrt
m-power Auf diesen Beitrag antworten »

Zeige, dass das Minimalpolynom im Polynomring irreduzibel ist (und überlege dir, dass das reicht).

m-power
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

okay da das Polynom normiert ist und irreduzibel ist, muss es minimal sein (hatte wir in der Vorlesung) aber jetzt fehlt mir noch das Kriterium um zu zeigen das es irreduzibel ist.

Eisenstein, Gauß und Koeffizientenvertausch hat (noch) nichts gebracht? verwirrt
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

Wink
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

hat denn nicht jmd eine Idee? traurig bin über jede hilfe dankbar!
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Es wäre nett, wenn du stets ein bisschen Geduld mitbringen würdest; du hast ja erst gestern Abend um halb 8 den Beitrag " Wink " hinterlassen...

Mir fällt dazu auch nichts sinnvolles ein. Vor ein paar Wochen stand ich mal vor einem ähnlichen Problem, damals habe ich die Linearfaktorzerlegung über angegeben und dazugeschrieben, man rechne leicht nach, dass keine Kombination aus zwei Linearfaktoren als Produkt in liegt. Ich bin mir nicht mehr sicher, ob diese "dreiste" Formulierung Punkte gekostet hat.
Der Assistent ist jedoch in seiner Musterlösung dann ähnlich vorgegangen, er kannte also auch keinen Trick, um die Irreduzibilität zu zeigen (von den üblichen, jedoch in dem und m.E. auch in diesem Fall nicht zielführenden abgesehen).

Das heißt du kannst entweder auch die Behauptung aufstellen, man rechne dieses und jenes leicht nach, oder du tust dir den Spaß an und rechnest es selbst nach. Zu überprüfen wären in diesem Fall 6 wunderbare Produkte.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

danke das ist doch ein guter tipp Freude (und beim nächsten mal gibts mehr geduld!)
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

mir ist aufgefallen um zu beweisen dass das angegebene Polynom, Minimalp. ist reicht es doch zu zeigen dass der erweiterungsgrad
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Das würde wiederum auch die Minimalität des Polynoms beweisen, aber wie willst du diese Aussage über den Erweiterungsgrad treffen, ohne zu benutzen, dass das Polynom minimal ist?
Masterguest Auf diesen Beitrag antworten »

Man, man man.
Das Zauberwort ist Variablenersetzung. Sind hier nur blinde unterwegs?

Man setze doch X:=Y+1
und zeige Irreduzibilität mit Eisenstein-Kriterium.
FERTIG
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

wo ist denn eisenstein???
Masterguest Auf diesen Beitrag antworten »

Probier mal die 4!!!
jester. Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Masterguest
Probier mal die 4!!!


Das ginge nur dann, wenn 4 eine Primzahl wäre.

Und auch wenn du etwas siehst, was andere nicht sehen, sind Aussagen wie "Sind hier nur blinde unterwegs?" nicht gerade das Gelbe vom Ei.
Riemannson Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Masterguest
Probier mal die 4!!!


das finde ich echt klasse!

(ich hab übrigens auch schon ausprobiert! also musst du die nicht auch ausprobieren! Augenzwinkern um zu erkennen, dass das absoluter blödsinn war ! Danach hab ich mich etschieden mal was hier reinzustellen)
wieschoo Auf diesen Beitrag antworten »
Idee
Also es hat keine Nullstelle in Z. Findet man schnell heraus.

Es können maximal 2 Polynome vom Grad 2 existieren mit f=gh
g= ax^2+bx+c
h= dx^2+ex+d

für den Fall a=1=e erhält man.

Damit hätte das Polynom doch eine Nullstelle die -1. Widerspruch!
Analog verfährt man mit a=-1=e

andere Fälle gibt es nicht.
Damit irreduzibel in Z und nach Gauß auch in Q.
wieschoo Auf diesen Beitrag antworten »
Korrektur
Da ich meinen vorherigen Beitrag nicht ändern konnte:
Korrekte Fallunterscheidung

a=d=1

c=f=5



laut CAS kommt man immer auf p. Es ergibt sich trotzdem ein Widerspruch (negative Wurzel) Daher irreduzibel. Egal welcher Fall

a=d=1
a=d=-1
c=1 ; f=25
c=-1 ; f=-25
c=5;f=5
c=-5=f
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