3xMünzwurf mit Wahrscheinlichkeitsmaß

01.12.2010, 08:59

Suse_ratlos

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3xMünzwurf mit Wahrscheinlichkeitsmaß

Gegeben:
0 = Zahl
1 = Kopf
$\begin{eqnarray*} Omega = \left\{ 0,1\right\} ^{3} \end{eqnarray*}$
Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P_{p} \left(\left\{ \left(w_{1},w_{2},w_{3} \right) \right\} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = p^{\left\{ i \in \left\{ 1,2,3\right\}, w_{i}=1 \right\}} (1-p)^{\left\{ i \in \left\{ 1,2,3\right\}, w_{i}=0 \right\}} \end{eqnarray*}$ , wobei als erstes im Exponent eine # Steht (als Anzahl)

Gesucht
P(A)="Höchstens eine Zahl"
P(B)="Gleiche Ergenis ritt bei den drei Würfen ein"
P(A Schnitt B)= ?
Für Welche Werte von p sind A und B Pp-unabhängig?

Problem:
Ich hab keine Ahnung wegen dem Wahrscheinlichkeitsmaß...
Hab jetzt P(A) und P(B) über Baumdiagramm berechnet, aber ist damit überhaupt dasselbe gemeint?
P(A)=0,5
P(B)=0,25

LG, Suse

01.12.2010, 10:06

Math1986

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RE: 3xMünzwurf mit Wahrscheinlichkeitsmaß

Zitat:

Original von Suse_ratlos
Gegeben:
0 = Zahl
1 = Kopf
$\begin{eqnarray*} Omega = \left\{ 0,1\right\} ^{3} \end{eqnarray*}$
Wahrscheinlichkeitsmaß $\begin{eqnarray*} P_{p} \left(\left\{ \left(w_{1},w_{2},w_{3} \right) \right\} \right) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} = p^{\left\{ i \in \left\{ 1,2,3\right\}, w_{i}=1 \right\}} (1-p)^{\left\{ i \in \left\{ 1,2,3\right\}, w_{i}=0 \right\}} \end{eqnarray*}$ , wobei als erstes im Exponent eine # Steht (als Anzahl)

Gesucht
P(A)="Höchstens eine Zahl"
P(B)="Gleiche Ergenis ritt bei den drei Würfen ein"
P(A Schnitt B)= ?
Für Welche Werte von p sind A und B Pp-unabhängig?

Problem:
Ich hab keine Ahnung wegen dem Wahrscheinlichkeitsmaß...
Hab jetzt P(A) und P(B) über Baumdiagramm berechnet, aber ist damit überhaupt dasselbe gemeint?
P(A)=0,5
P(B)=0,25

LG, Suse

Ich verstehe nicht, wie du da ein Baumdiagramm verwendest, hast du die Mengen A und B denn mal explizit angegeben?

01.12.2010, 10:08

René Gruber

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Zitat:

Original von Suse_ratlos
Hab jetzt P(A) und P(B) über Baumdiagramm berechnet, aber ist damit überhaupt dasselbe gemeint?
P(A)=0,5
P(B)=0,25

Das sind die richtigen Ergebnisse im Spezialfall $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ .

Du sollst diese Wahrscheinlichkeiten aber nicht nur für dieses spezielle $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , sondern für beliebige $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 0\leq p\leq 1 \end{eqnarray*}$ ausrechnen! Und natürlich auch noch $\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ , da solltest du dir vorher überlegen, was das Ereignis $\begin{eqnarray*} A\cap B \end{eqnarray*}$ bezogen auf die Münzwürfe bedeutet.

01.12.2010, 10:15

Suse_ratlos

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Hallo,

iuch sag ja, ich kann mit diesem Wahrscheinlichkeitsmaß nix anfangen.

Mal die Mengen
A=(111,011,101,110)
B=(111,000)
Damit A schnitt B=(111)

Und wie gehe ich nun vor?

01.12.2010, 10:25

René Gruber

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Zitat:

Original von Suse_ratlos
ich kann mit diesem Wahrscheinlichkeitsmaß nix anfangen.

Dann solltest du es dir mal genau anschauen um zu erkennen, dass es nichts weiter aussagt als dass Kopf mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ , und Zahl mit Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray*} (1-p) \end{eqnarray*}$ fällt, und das bei jedem der drei Würfe.

01.12.2010, 10:29

Suse_ratlos

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Aber dann wäre doch p wieder 0,5 oder nicht?!
Ich denke, dass das hier wegen diesem Wahrscheinlichkeitsmaß nicht der Fall ist?!

Sonst wären doch mein P(A) und P(B) richtig?!

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01.12.2010, 11:14

René Gruber

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Zitat:

Original von Suse_ratlos
Aber dann wäre doch p wieder 0,5 oder nicht?!

Ich kann deiner Logik nicht folgen. Aus meinen Beiträgen kannst du diese Schlussfolgerung jedenfalls nicht ziehen. unglücklich

unglücklich

01.12.2010, 11:17

Suse_ratlos

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Naja, Kopf ist ja $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und Zahl ist $\begin{eqnarray*} (1-p) \end{eqnarray*}$ .
Also quasi die Gegenwahrscheinlichkeit...

Vielleicht wärst du so freundlich es mir an P(A) zu erkllären, wie man die Wahrscheinlichkeit auszurechnen hat?!

LG, Suse

01.12.2010, 11:22

René Gruber

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Zitat:

Original von Suse_ratlos
Naja, Kopf ist ja $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ und Zahl ist $\begin{eqnarray*} (1-p) \end{eqnarray*}$ .
Also quasi die Gegenwahrscheinlichkeit...

Richtig, aber daraus folgt doch nicht, dass beide gleich $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ sein müssen. unglücklich

unglücklich

Was das Ausrechnen betrifft: Korrigiere doch deinen Baum, indem du die Kopf-Zweige mit $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ bewertest, und die Zahl-Zweige mit $\begin{eqnarray*} 1-p \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ , dann solltest du zum richtigen allgemeinen Ergebnis kommen. Alternativ kannst du natürlich auch gleich mit der Binomialverteilung rechnen, oder (warum auch nicht) direkt mit dem angegebenen W-Maß - aber das lehnst du ja (aus welchen Gründen auch immer) ab.

01.12.2010, 11:24

Suse_ratlos

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Hallo!
Frage 1: Gibt es zur Aufgabe nur ein allgemeine Ergebnis (also keine konkreten Zahlen)?
Frage 2: Kannst du es mir bitte mit P(A) mit dem Wahrscheinlichkeitsmaß vormachen? Ich lehne es nicht ab, aber ich verstehe es nicht so ganz...

01.12.2010, 13:36

René Gruber

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Ok, bei genauerem Hinschauen ist natürlich ein Abschreibefehler in dem W-Maß, es lautet sicher

$\begin{eqnarray*} P_p \left( \{ (w_1,w_2,w_3) \} \right) = p^{\left| \{ i \in\{1,2,3\}:\; w_i=1 \} \right|} \cdot (1-p)^{\left| \{ i \in \{ 1,2,3\}:\; w_i=0 \} \right|} \end{eqnarray*}$ .

Na setz doch da mal eine konkrete Wurffolge ein, z.B. Zahl-Kopf-Kopf:

$\begin{eqnarray*} P_p \left( \{ (0,1,1) \} \right) = p^2 (1-p)^1 \end{eqnarray*}$ .

01.12.2010, 13:47

Suse_ratlos

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Die Betragsstriche standen wirklich nicht auf dem zettel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Also, das wäre dann p^2-p^3 -> Und das ist das Ergebnis dieser Wahrscheinlichkeit.
D.h. für P(A) hätte ich ja vier Möglichkeiten. Muss ich die addieren (denk ich eigentlich!) oder multiplizieren?
Also, so:
$\begin{eqnarray*} p^{3} +p^{2}-p^{3}+p^{2}-p^{3}+p^{2}-p^{3} \end{eqnarray*}$
oder so:
$\begin{eqnarray*} p^{3} (p^{2}-p^{3}) (p^{2}-p^{3}) (p^{2}-p^{3}) \end{eqnarray*}$

Und das ganze dann zusammengefasst ist die Wahrscheinlichkeit von A...
"Mehr" wäre da nicht zu machen?

01.12.2010, 13:49

René Gruber

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Zitat:

Original von Suse_ratlos
Die Betragsstriche standen wirklich nicht auf dem zettel Augenzwinkern

Augenzwinkern

Aber der Anzahloperator #, den du (wie ich gerade sehe) weiter hinten im Beitrag, also außerhalb der Formel versteckt hast.

01.12.2010, 13:51

Suse_ratlos

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Ist addieren nun richtig?

01.12.2010, 13:51

René Gruber

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Zitat:

Original von Suse_ratlos
Muss ich die addieren (denk ich eigentlich!) oder multiplizieren?

Nachdenken, nicht raten. Ich halte dauernde Zwischenfragen dieser Art "plus oder mal?" für ziemlich nervig und auch des Hochschulbereichs für unwürdig. Vielleicht bist du jetzt darüber sauer, aber das ist etwas, was mir selbst hier immer sauer aufstösst. unglücklich

unglücklich

01.12.2010, 13:54

Suse_ratlos

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Naja, ich hab doch schon gesagt, dass ich denke "addieren".
Einfach, weil man es ja analog übers Baumdiagramm ja auch erst multipliziert (die Pfade) und dann die einzelnen Wahrscheinlichkeiten/Möglichkeiten addiert.

Ich wollte nur sichergehen, ob ich damit richtig liege...

01.12.2010, 13:58

René Gruber

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Zitat:

Original von Suse_ratlos
Naja, ich hab doch schon gesagt, dass ich denke "addieren".

Zu spät für meinen Beitrag ... aber addieren ist selbstverständlich richtig.

01.12.2010, 13:59

Suse_ratlos

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Ergebnis (hoffentlich richtig):
P(A)=-2p + 3
P(B)=-p^3+3p^2-3p+1
P(A schnitt B)=p^3

Und das ist nun das Ergebnis, ja?! (Oder ist noch etwas zu tun?)
Und wieso setzt man da keine "Zahlen" ein? Also... wieso mit diesen "p"?

01.12.2010, 14:25

René Gruber

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Erkläre mir doch mal bitte, wie du von

Zitat:

Original von Suse_ratlos
$\begin{eqnarray*} p^{3} +p^{2}-p^{3}+p^{2}-p^{3}+p^{2}-p^{3} \end{eqnarray*}$

zu $\begin{eqnarray*} P(A) \stackrel{?}{=} -2p+3 \end{eqnarray*}$ kommst? Du musst doch selbst merken, dass letzteres nur falsch sein kann, z.B. für $\begin{eqnarray*} p=\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ergibt das z.B. $\begin{eqnarray*} P(A)=2 > 1 \end{eqnarray*}$ , was ja nun der ultimative Unfug in der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist.

-------------------------------

Zusammenfassend: $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ ist falsch. Bei $\begin{eqnarray*} P(B) \end{eqnarray*}$ hast du anscheinend nur $\begin{eqnarray*} (1-p)^3 \end{eqnarray*}$ ausmultipliziert, also die Wkt für dreimal Zahl - das ist aber nur die halbe Miete angesichts dessen, was $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ beinhaltet.

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) \end{eqnarray*}$ ist aber mal richtig.

-------------------------------

Warum das ganze? Na es soll doch festgestellt werden, für welche $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ nun

$\begin{eqnarray*} P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) \qquad (U) \end{eqnarray*}$

wirklich gilt, und dazu muss man doch erstmal diese drei Wkten in Abhängigkeit von $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aufstellen. Bedingung (U) ist dann als Bestimmungsgleichung für $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ aufzufassen und entsprechend zu lösen.

01.12.2010, 14:30

Suse_ratlos

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P(A)=-2p^3+3p^2 und da hab ich die p's einfach gekürzt = -2p+3 verwirrt

verwirrt

Bei P(B) hab ich das echt vergessen: P(B)=3p^2-3p+1

So richtoig?

Ich soll ja noch prüfen, für welche p A und B unabhängig sind. D.h ich setze einfach mein P(A)*P(B)=P(A schnitt B) und die Werte die da rauskommen, sind die Lsg?!

01.12.2010, 14:33

René Gruber

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Ja. Wobei ich nicht weiß, ob die exotischen "Randwerte" $\begin{eqnarray*} p=0 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} p=1 \end{eqnarray*}$ in deiner Aufgabenstellung überhaupt zugelassen sind oder ob nicht von vornherein $\begin{eqnarray*} 0<p<1 \end{eqnarray*}$ gefordert wird.

01.12.2010, 14:35

Suse_ratlos

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Hier steht nix...
Naja, 0,5 ist ja auf jeden Fall ein mgl. Wert (mit Unabhängigkeit) Augenzwinkern

Augenzwinkern

Und falls jetzt P(A) und P(B) richtig waren komme ich auf folgende GLeichung:
$\begin{eqnarray*} (-2p+3)(3p^{2} -3p+1)=p^{3} <br /> \Rightarrow -7p^{3} +15p^{2}-11p+3=0 \end{eqnarray*}$
Puh... das muss jetzt nur noch aufgelöst werden...

01.12.2010, 14:50

René Gruber

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Zum wiederholten Male hast du jetzt vergessen, die falsche Kürzung bei $\begin{eqnarray*} P(A) \end{eqnarray*}$ rückgängig zu machen. unglücklich

unglücklich

01.12.2010, 14:51

Suse_ratlos

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Achso, ja, also für P(A) dann natürlich nur -2p^3+3p^2 Augenzwinkern

Augenzwinkern

01.12.2010, 14:57

Suse_ratlos

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Damit
o=-6p^5+15p^4-12p^3+3p^2

01.12.2010, 15:26

René Gruber

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Jetzt stimmt's.

$\begin{eqnarray*} p^2 \end{eqnarray*}$ kannst du sofort ausklammern, und von der restlichen kubischen Gleichung kannst du sofort zumindest eine der Lösungen erraten (was du oben ja eigentlich auch schon getan hast). Es verbleibt nach Polynomdivision eine quadratische Gleichung, die du dann letztlich auch lösen kannst.

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