Polynomring

Neue Frage »

01.12.2010, 11:03	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
Polynomring Hallo ich soll zeigen dass $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X_1,X_2,...] \end{eqnarray}$ mit abzählbar vielen Unbestimmten faktoriell ist und ein Ideal enthält, das nicht endlich erzeugt ist. Aber ich weiß nicht wie ich das anstelle!
03.12.2010, 04:46	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
"Faktoriell" ist eine Eigenschaft, die für alle Elemente eines Rings einzeln gilt. Wie sieht denn ein Element von $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X_1,X_2,...] \end{eqnarray}$ aus? Was fallen dir denn Für Ideale ein, die von unendlich vielen Elementen erzeugt werden? (Beachte, dass meine Fragestellung nicht äquivalent zur Aufgabenstellung ist $\begin{eqnarray} (x, 2x, 3x, \ldots) = (x) \end{eqnarray}$ kann man etwa mit unendlich vielen Elementen erzeugen, ist aber trotzdem endlich erzeugt.)
03.12.2010, 09:18	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
also ein unedlich erzeugtes Ideal ist doch dieses: $\begin{eqnarray} (p,...,p_n), n=\infty, \ \ p \ \ prim \end{eqnarray}$ und ein polynom mit auschließlich primzahlen als koeffizienten sollte ja in $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X_1,X_2,...] \end{eqnarray}$ liegen oder?
03.12.2010, 09:20	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
oder das Ideal ist so vllt besser aufgeschrieben: $\begin{eqnarray} (p_1,p_2,...) ,\ \ p_i \ \ prim \end{eqnarray}$
04.12.2010, 03:28	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Das halte ich für falsch, denn $\begin{eqnarray} (x,y) = (x, y, x+2y, x+3y, \ldots) \end{eqnarray}$
04.12.2010, 08:03	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
mhh stimmt! ich überlege die ganze zeit mit dem nullideal rum aber das ist auch nicht oder? Mir fällt sonst kein Bsp. eines unendlich erzeugten Ideals ein
Anzeige

04.12.2010, 10:58	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Also eines der ersten Ideale, welches mir zu $\begin{eqnarray} \mathbb Z [X_1, X_2, X_3, \ldots ] \end{eqnarray}$ einfällt ist $\begin{eqnarray} (x_1, x_2, x_3, \ldots) \end{eqnarray}$
04.12.2010, 19:28	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
ja stimmt es sind ja Polynome und nicht nur Zahlen in $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X_1,X_2,...] \end{eqnarray}$ , somit ist schonmal gezeigt des es ein nicht endlich erzeugtes Ideal gibt.
04.12.2010, 19:31	Riemannson	Auf diesen Beitrag antworten »
kurze zwischenfrage kann ich sagen: $\begin{eqnarray} \mathbb Z[X_1,X_2,...] = \mathbb Z[X_1] \cup \mathbb Z[X_2] \cup ... \end{eqnarray}$ , das ist falsch oder?
04.12.2010, 23:20	pseudo-nym	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich schon sagte: Die Tatsache, dass ein Ideal unendlich viele Erzeuger hat heißt nicht, dass es nicht endlich erzeugt ist. Es ist also noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray} (x_1, x_2, x_3, \ldots) \end{eqnarray}$ nicht endlich erzeugt ist. Um unterschiedliche Definitionen zu vermeiden, gebe ich mal meine Definition von "endlich erzeugt" an. Sei $\begin{eqnarray} R \end{eqnarray}$ ein Ring $\begin{eqnarray} X \subseteq R \end{eqnarray}$ ein Ideal. $\begin{eqnarray} X \text{ ist endlich erzeugt } :\Leftrightarrow \exists a_1, \ldots a_n \in R : X = (a_1, \ldots, a_n) \end{eqnarray}$ Zu deiner zweiten Frage: Das ist falsch, denn $\begin{eqnarray} (\forall i \in \mathbb N : x_1 + x_2 \notin \mathbb Z [X_i] ) \Rightarrow x_1 + x_2 \notin \bigcup_i \mathbb Z [X_i] \end{eqnarray}$ In der Menge der Polynome über den ganzen Zahlen mit abzählbar vielen Veränderlichen gibt es also Polynome mit echt mehr als einer Veränderlichen. Gibt es auch Polynome mit mehr als endlich vielen Veränderlichen? (Daran knüpft mein allererster Hinweis an.)
05.12.2010, 20:59	invisible	Auf diesen Beitrag antworten »
Mich würde die Frage auch interessieren.

Neue Frage »

Antworten »

Polynomring

Verwandte Themen