Basis, erzeugendensystem

01.12.2010, 12:31

Theta

Basis, erzeugendensystem

Meine Frage:
Hallo allerseits,
Ich möchte mich im Voraus schonmal für eine blöde Frage entschuldigen,
aber bin im Moment ein bisschen verwirrt:
Was ist der Unterschied zwischen einer Basis und einem Erzeugendensystem?

Meine Ideen:
Ich nehme mal an, es gibt keinen

01.12.2010, 12:37

Iorek

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Und wie es da einen Unterschied gibt. Jede Basis eines Vektorraums ist ein Erzeugendensystem aber nicht jedes Erzeugendensystem eine Basis. Wie habt ihr Erzeugendensystem definiert, wie habt ihr die Basis definiert? Was für Unterschiede gibt es also?

01.12.2010, 12:37

Math1986

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RE: Basis, erzeugendensystem

Zitat:

Original von Theta
Meine Frage:
Hallo allerseits,
Ich möchte mich im Voraus schonmal für eine blöde Frage entschuldigen,
aber bin im Moment ein bisschen verwirrt:
Was ist der Unterschied zwischen einer Basis und einem Erzeugendensystem?

Meine Ideen:
Ich nehme mal an, es gibt keinen

Falsch..
Der Unterschied ist der, dass die Vekoren einer Basis linear unabhängig seien müssen, bei einem Erzeugendensystem muss das nicht so sein.

Eine Basis ist also immer auch ein Erzeugendensystem, ein Erzeugendensystem ist genau dann eine Basis, wenn seine Vektoren linear unabhängig sind.

01.12.2010, 12:38

Theta

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eine Basis ist das minale und zugleich maximale Erzeugendensystem eines Vektorraums, irgendwie so in der Richtung.

01.12.2010, 12:40

Iorek

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"Irgendwie so in der Richtung" ist in der Mathematik nicht aussagekräftig.

Schlag die genaue Definition nach.

01.12.2010, 12:41

Theta

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RE: Basis, erzeugendensystem
wie stellst du dir das vor
ich meine Erzeugendensystem muss doch eigentlich eine Basis sein, wenn das erz.sys. nicht lin. unabh. ist wie sollen dann alle vektoren darzustellen sein?

01.12.2010, 12:43

Iorek

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Nein, ein Erzeugendensystem muss nicht eine Basis sein...

Schlag doch bitte einmal die genauen Definitionen nach, ansonsten drehen wir uns hier im Kreis.

01.12.2010, 12:46

Theta

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De nition 3.41. Sei V ein Vektorraum und U Teilmenge V . Falls, V = L(U), so
heißt U ein Erzeugendensystem von V .
Beispiele:
1. R² = {(f(1; 0); (0; 1)},
R³ = {(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)}

De nition 3.46. Sei V ein K-Vektorraum. Dann heißt U Teilmenge V eine Basis
von V , falls U ein Erzeugendensystem von V und linear unabhängig ist.

01.12.2010, 12:48

Math1986

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Zitat:

Original von Theta
De nition 3.41. Sei V ein Vektorraum und U Teilmenge V . Falls, V = L(U), so
heißt U ein Erzeugendensystem von V .
Beispiele:
1. R² = {(f(1; 0); (0; 1)},
R³ = {(1; 0; 0); (0; 1; 0); (0; 0; 1)}

So, und nun schlag mal die Definition einer Basis nach und vergleiche das

01.12.2010, 12:48

Iorek

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Gut, damit wäre ein Erzeugendensystem eine Teilmenge des Vektorraums, aus der sich sämtliche Elemente des Vektorraums linear kombinieren lassen.

Eure Beispiele sind zufälligerweise schon Basen, allerdings wäre z.B. für den $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ auch $\begin{eqnarray*} ((1;0),(0;1),(1;1),(2;5),(\pi;e^5) \end{eqnarray*}$ ein Erzeugendensystem (aber keine Basis!).

01.12.2010, 12:49

Theta

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De nition 3.46. Sei V ein K-Vektorraum. Dann heißt U Teilmenge V eine Basis
von V , falls U ein Erzeugendensystem von V und linear unabhängig ist.

01.12.2010, 12:50

Math1986

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Zitat:

Original von Theta
De nition 3.46. Sei V ein K-Vektorraum. Dann heißt U Teilmenge V eine Basis
von V , falls U ein Erzeugendensystem von V und linear unabhängig ist.

Genau das ist der Unterschied zum Erzeugendensystem

01.12.2010, 12:51

Theta

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allerdings ist in deinem Beispiel selbst (nennen wir es die Menge Y) eine Basis eine Teilmenge von Y
das heißt Y ist zwar selbst nicht lin. unabh. aber da es eine Basis als Teilmenge hat, kann man auch mit Y alle Vektoren darstellen.
So macht das ganze natürl. sinn

01.12.2010, 12:53

Math1986

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Zitat:

Original von Theta
allerdings ist in deinem Beispiel selbst (nennen wir es die Menge Y) eine Basis eine Teilmenge von Y

Welches Beispiel?

Natürlich ist eine Basis eine Teilmenge des Vektorraums

EDIT

Zitat:

Original von Theta
das heißt Y ist zwar selbst nicht lin. unabh. aber da es eine Basis als Teilmenge hat, kann man auch mit Y alle Vektoren darstellen.
So macht das ganze natürl. sinn

Ja, du kannst, wenn du die "richtigen" Vektoren entfernst, aus einem Erzeugendensystem eine Basis konstruieren

01.12.2010, 12:54

Theta

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$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} {(1;0),(0;1),(1;1),(2;5),(\pi;e^5)} \end{eqnarray*}$
Diese Mengenklammern sind manchmal irgendwie unsichbar sorry
Danke für eure Hilfe Gott

01.12.2010, 13:00

Math1986

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Zitat:

Original von Theta
$\begin{eqnarray*} \mathbb R^2 \end{eqnarray*}$ = $\begin{eqnarray*} {(1;0),(0;1),(1;1),(2;5),(\pi;e^5)} \end{eqnarray*}$
Diese Mengenklammern sind manchmal irgendwie unsichbar sorry

Mengenklammern werden mit

code:
1:	\{ \}

dargestellt.

In diesem Fall ist aber offenbar $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2\neq\left\{(1;0),(0;1),(1;1),(2;5),(\pi;e^5)\right\} \end{eqnarray*}$ , da zB $\begin{eqnarray*} (0,0)\in R^2 \end{eqnarray*}$ aber $\begin{eqnarray*} (0,0)\not\in\left\{(1;0),(0;1),(1;1),(2;5),(\pi;e^5)\right\} \end{eqnarray*}$

Was du meinst, und was Iorek sagte, ist $\begin{eqnarray*} \mathbb R^2=L\left(\left\{(1;0),(0;1),(1;1),(2;5),(\pi;e^5)\right\}\right) \end{eqnarray*}$

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