Mehrere Fragen im R^3

18.11.2006, 01:06

Ripper1986

Mehrere Fragen im R^3

Hi, ich hoffe mal ich nerve hier nicht weil ich in letzter Zeit so viele Frage stelle aber ich habe ein paar Probleme und ich schreibe am Dienstag meine Klausur über Vektorenrechnung und da ich ein paar Stunden gefehlt habe komme ich nicht so in den Stoff rein...
Ich habe heute ein paar alte Abivorschläge durchgearbeitet und da sind bis jetzt 3 Fragen aufgetaucht bei denen ich zwar weiß was ich machen muss aber ich irgendwie nicht zu der Lösung komme! ich fange einfach mal an:

Ich bitte darum vor die Jeweilige Antwort zu schreiben zu welcher Frage man Stellung nimmt!danke
FRAGE 1:

Gegeben sind:

$\begin{eqnarray*} \vec a = \begin{pmatrix} 2 \\ 2 \\ 2 \end{pmatrix} + s * \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 5 \end{pmatrix} + r * \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} \vec b = \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 5 \end{pmatrix} + m * \begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ -3 \end{pmatrix} + n * \begin{pmatrix} -2 \\ 5 \\ 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Gesucht ist das Schnittgebilde.

Lösungsansatz:

Da ich weiß dass es sich um 2 Ebenen handelt muss sich eine schnittgerade ergeben die ich durch das Gleichsetzten erhalte. Wenn ich sie gleichsetzte muss ich in einen der vier Buchstaben eine freie Variable einsetzen und dann bekomme ich theoretisch wenn ich dann zB r=x und s=-5/6x - 6 in eine der beiden ebenen einsetzte die Schnittgerade? also ich hoffe bis jetzt ist alles richtig... ich bin nur leider etwas zu doof und mache eigentlich immer irgendeinen dummen kleinen Fehler udn bekomme dann was falsches raus....

Weiterer Lösungsansatz:

wenn ich nun die beiden Ebenen aus der Parameterform in die Koordinatengleichung umwandel erhalte ich:

$\begin{eqnarray*} \vec a \end{eqnarray*}$ = -10x -y +4z +14
und
$\begin{eqnarray*} \vec b \end{eqnarray*}$ = 17x +4y +7z -56

wie kann ich aus dieser Form die Schnittgerade bzw das schnittgebilde errechnen? Ich habe leider keinen Ansatz, da ich keine ahnung habe!

FRAGE2:

Diese Frage kann ich recht kurz halten.
Gegeben sind 2 Geraden und ich soll den Abstand berechnen! WIE?

Mein ansatz ist dass ich den Normalenvektor über das Kreuzprodukt ausrechne, da dieser zu beiden Vektoren Ortogonal ist doch wie finde ich dann den Stützvektor zu diesem?

FRAGE3:

gegeben sind 3 Punkte:
A(5/0/1), B(0/4/2) und C(0/0/t) 0 < t < 6

Wie muss man nun t bestimmen, damit das Dreieck Rechtwinklig wird?

Meine Idee:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AC} \end{eqnarray*}$ = 0
bzw:
$\begin{eqnarray*} \overrightarrow {AB} \end{eqnarray*}$ * $\begin{eqnarray*} \overrightarrow {BC} \end{eqnarray*}$ = 0

wenn ich dies mache bekomme ich leider nur keine vernümpftigen werte raus... da gesagt ist dass man t so berechnen soll, dass erlaubte Werte als ergebnis herauskommen gehe ich davon aus dass es eine Lösung geben muss....

Ich danke für jede noch so kleine Hilfe.

Bei näheren Fragen steh ich natürlich bei ICQ oder PN zu verfügung

Gruß,
FELIX

18.11.2006, 01:58

mYthos

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Hi

1.

Setze in den beiden Koordinatengleichungen für eine der Variablen einen Parameter, z.B z = t, und löse nach den anderen beiden Variablen (x,y) auf. Das Ergebnis enthält einen Parameter t und entspricht der Parametergleichung der Schnittgeraden.

2.

Diese Frage wurde im Board schon sehr oft gestellt. Suche mal hier unter "Abstand windschiefer Geraden" oder "windschief".

3.

Der rechte Winkel ist bei C, daher ist

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ 0 \\ 1 - t \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 0 \\ 4 \\ 2 - t \end{pmatrix} = 0 \end{eqnarray*}$

-> es gibt 2 Lösungen

mY+

18.11.2006, 02:02

Ripper1986

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danke für die schnelle antwort!

1. wie mache ich dies mit der Koordinatengleichung?

2. OK

3. kann der Winkel nicht auch bei A oder B liegen? wäre doch dan auch rechtwinklig, oder?

18.11.2006, 02:21

mYthos

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1.

Deine Koordinatengleichungen stimmen nicht! Links darf da kein Vektor stehen, sondern eine Konstante.

Seien 2 beliebige Ebenen zu schneiden:

x - y + 2z = 6
2x + y - 4z = 10
-----------------------
setze z = t

x - y = 6 - 2t
2x + y = 10 + 4t
------------------------
3x = 16 + 2t
...
y = -2/3 + 8t/3
z = t
------------------------
x = 16/3 + 2t/3
y = -2/3 + 8t/3
z = t
-------------------------
-> Schnittgerade

X = (16/3; -2/3; 0) + t*(2/3; 8/3; 1)
den Richtungsvektor kann man noch verlängern ->

X = (16/3; -2/3; 0) + t*(2; 8; 3)

---------------------------------------------------------------------------

Zu 2. siehe mal den Link

Geschlossener Vektorzug

(Suche: Geschlossener Vektorzug)

bzw.

Abstand 2 Windschiefer geraden geht nicht

an! Das ist dann sehr nützlich, wenn auch die Endpunkte des Lotes gesucht sind!

---------------------------------------------------------------------------

3.

Natürlich kann der Winkel auch bei A oder B liegen, aber bei beiden Varianten entspricht t nicht der Bedingung 0 < t < 6

mY+

18.11.2006, 02:30

Ripper1986

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1. suuper, genau das wollte ich wissen! danke danke!!!

3. also waren meine beiden Ansätze eigentlich auch richtig, nur das ergebnis das es ergibt stimmt nicht mit den bedinungen überein? ich habe also nur die dritte möglickeit, also den 3. Winkel vergessen?

danke für die schnelle und gute erklärung

gute nacht,
felix

18.11.2006, 02:38

mYthos

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Zitat:

Original von Ripper1986
...
3. also waren meine beiden Ansätze eigentlich auch richtig, nur das ergebnis das es ergibt stimmt nicht mit den bedinungen überein? ich habe also nur die dritte möglickeit, also den 3. Winkel vergessen?
...

Ja, so ist es.
Ebenfalls gute Nacht!

mY+

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