Nullstellen berechnen.

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01.12.2010, 20:35	Amewu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nullstellen berechnen. Guten Abend. Ich komme grad irgendwie nicht weiter. Ich soll Nullstellen für die Funktion: x^3-150x-400000 herausfinden. Ohne Polynomdivision. Ausklammern geht auch nicht, substituieren auch nicht. Ich bin ratlos. Hatte ein bisschen rumgeguckt und "Caradanische Formeln" als Ansatz genommen. Aber das klappt nicht. Kann mir jemand helfen? Ich will nicht nur die Lösung, sondern ich würde es gerne verstehen. Danke im vorraus.
01.12.2010, 20:39	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Nullstellen berechnen. Also es gibt zwie Möglichkeiten, entweder du versuchst es mit Probieren, Plotten oder den Cardanischen Formeln. Die Cardanischen Formeln liefern dir eine exakte Lösung, die du ja sicherlich benötigtst, wo liegt denn hier das Problem? Deine Kubische Gleichung besitzt kein quadratisches GLeid, liegt also schon in der reduzierten Form vor, daher kann man p und q direkt aus der Gleichung ablesen. Mithilfe dieser beiden Größen kann man nun die Diskriminante bestimmen, von dieser ist das weitere Vorgehen abhängig. $\begin{eqnarray} <br /> p=-150<br /> q=-400000 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> D=\left(\frac{q}{2}\right)^2+\left(\frac{ p}{ 3}\right)^3 \end{eqnarray}$
01.12.2010, 20:43	Amewu	Auf diesen Beitrag antworten »
Cardanische Formeln würde ich gerne nehmen. Naja im Internet steht überall ein anderer Ansatz und in meinem Mathe Duden steht garnichts. Hab jetzt einen probiert und zwar hab ich x, p, q eingesetzt. x³+rx²+sx+t=0 x = y - r/3 p = s - r²/3 q = 2*r³/27-sr/3+t also x = y ; p = 150 ; q = 0. Jetzt weiß ich nicht wie ich weiter machen soll, und ob das überhaupt der richtige Ansatz ist. Ich habe es mit der pq-Formel probiert und komme auf x01 = 0 und x02 = -150. Vllt. sehe ich den Wald vor lauter Bäumen nicht und das ist die Lösung. Und 0 als doppelte Nullstelle oder ähnliches.
01.12.2010, 20:46	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey, hast du richtig gelesen. Das Quadratische Glied ist NULL, deshalb brauchst du nicht zu substituieren, du kannst p und q aus der Gleichung ablesen. Schau dir bitte noch mal meinen letzten Beitrag an, der sollte dir weiterhelfen. Welchen Wert hat die Diskriminanten und was kann man daraus schließen und wieist die weitere Vorgehensweise?
01.12.2010, 20:50	Amewu	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt. also p = -150 und q = -400000. Ist die Diskriminante nicht der Teil unter Wurzel? (p/2)²-q ? Und was fang ich dann mit der Diskriminante an?
01.12.2010, 20:51	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Diskriinante kann entweder größer null, kleiner null oder null werden und genau davon hängt das weitere Lösen der Gleichung ab. Berechne bitte erstmal die Diskriminante und teile mir den Wert mit.
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01.12.2010, 20:54	Amewu	Auf diesen Beitrag antworten »
Nach deiner Gleichung für die Diskriminante : 3.999x10^10. Bei (p/2)²-q = 405625.
01.12.2010, 20:56	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Das sehe ich anders: $\begin{eqnarray} D=\left(\frac{-400000}{2}\right) ^2+ \left(\frac{-150}{ 3}^3\right)=200000^2-(50)^3 \end{eqnarray}$ Meine Diskriminante ist negativ, kannst du mir folgen. Schaue dir oben noch mal meine Gleichung zur Errechnung der Diskriminanten an.
01.12.2010, 20:58	Amewu	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast p für q eingesetzt, wenn ich deiner Gleichung im ersten Post folge.
01.12.2010, 21:02	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja Stimmt, mein Fehler. DANKE. Jetzt kann ich dir nicht mehr folgen. Deine Gleichung lautet: $\begin{eqnarray} x^3+px+z \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} p=-150<br /> q=-400000 \end{eqnarray}$ Die Formel für die Diskriminanten lautet: $\begin{eqnarray} D=\left(\frac{q}{ 2}\right)^2+\left(\frac{p}{3}\right)^3 \end{eqnarray}$
01.12.2010, 21:04	Amewu	Auf diesen Beitrag antworten »
Bist du dir da sicher? Hab im Internet und in diversen Büchern gerade nachgeschaut, da steht immer die Formel für die Diskriminante lautet: $\begin{eqnarray} D = (p/2)²-q \end{eqnarray}$
01.12.2010, 21:06	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Diese die du nimmst gilt nicht für kubische Gleichungen, schau mal bitte hier http://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_Formeln Wir haben jetzt festgestellt das die Diskriminante größer als Null ist, daraus resultiert das es 3 reelle Lösungen dieser Gleichung gibt. Die 3 Lösungen lassen sich wie folgt finden:
01.12.2010, 21:09	Amewu	Auf diesen Beitrag antworten »
Gut. Danke für die Erklärung. Also dann müsste wie schon erwähnt : 3.999x10^10 rauskommen. Das bedeutet es gibt 2 Lösungen, nicht?
01.12.2010, 21:24	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
1 Lösung bei $\begin{eqnarray} u+v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} u=\sqrt[3]{-\frac{q}{2}+\sqrt[]{D}} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} v=\sqrt[3]{-\frac{q}{ 2}-\sqrt[]{D}} \end{eqnarray}$
01.12.2010, 21:29	Amewu	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist die erste Lösung nicht nur bei U + V ? Ohne durch 2 zu dividieren?!
01.12.2010, 21:31	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, das ist alles korrekt was ich dir hier angebe. Falls du mir nicht glaubst schaue bei dem oben angegebenen Wiki Link.
01.12.2010, 21:38	Amewu	Auf diesen Beitrag antworten »
Bei dem oben genannten WIKI Link steht es ja so da. z1 = u + v
01.12.2010, 22:02	Amewu	Auf diesen Beitrag antworten »
Kannst du mir noch sagen ob u + v jetzt richtig ist und wie ich auf z2 und z3 komme? Dann bin ich ja fertig und hab die Nullstellen oder?
02.12.2010, 00:40	baphomet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja habe ich falsch niedergeschrieben. Die anderen zwei Lösungen sind komplexe Lösungen und ich weiß nicht ob du diese wirklich benötigst. Falls ja kann du diese ebenfalls aus dem von mir angegebenen Link entnehmen. $\begin{eqnarray} x_1=u+v \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_2=\frac{u+v}{2}+\frac{u-v}{2}\sqrt[]{3}i \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} x_3=\frac{u+v}{2}-\frac{u-v}{2}\sqrt[]{3}i \end{eqnarray}$ Wenn Interesse besteht kann ich dir die gesamte Cardanische Formel gerne auch für die anderen Fälle geben.
10.02.2011, 19:30	Mauki	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo baphomet, Ich schreibe rgade meine Facharbeit über das Thema "Cardanische Formeln" und die erste Nullstelle zu ebstimmen ist ja einfach..Ich habe nur ein Problem mit den Komplexen Zahlen weiter zu rechnen... Könntest du mir vielleicht erklären, wie man auf die 2te und 3te Nullstelle kommt? Das wäre sehr nett =)

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