dimensionsabschätzung

18.11.2006, 12:14

wima06

dimensionsabschätzung

Hallo. Ich weiß nicht so recht wie ich Folgendes zeigen soll:

Seien $\begin{eqnarray*} U_{1},...,U_{m} \end{eqnarray*}$ Unterräume des $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} U_{i} \end{eqnarray*}$ = n - 1 für i = 1, ... ,m.
Zeigen Sie die Dimensionsabschätzung $\begin{eqnarray*} dim(U_{1} \cap .... \cap U_{m}) \geq n-m \end{eqnarray*}$

Bin über jeden tipp dankbar.

18.11.2006, 12:50

Abakus

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RE: dimensionsabschätzung
Verwende die Dimensionsformel und ggf. ein induktives Argument. Für den Anfang betrachte m=1 bzw. m=2.

Grüße Abakus smile

18.11.2006, 14:41

planlos85

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hey hab das gleich problem aber bei mir kommt noch umformen mit der dimensionsformel

m (n-1) = dim (U1+...+Um) raus. wie soll ich das denn mit induktion beweisen?

kann ich dim (U1+...+Um) denn noch irgendwie umformen?

18.11.2006, 21:21

Abakus

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Zitat:

Original von planlos85
hey hab das gleich problem aber bei mir kommt noch umformen mit der dimensionsformel

m (n-1) = dim (U1+...+Um) raus. wie soll ich das denn mit induktion beweisen?

Wieso ist das dasselbe Problem wie oben ? Und wie kommst du auf deine Gleichung ? (die steht im Widerspruch zu dem, was zu zeigen ist)

Grüße Abakus smile

18.11.2006, 21:39

planlos85

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oh das war oben ein schreibfehler.

hab die dimensionsformel angewandt:

dim U1+ ... + dim Um - dim (U1 + ... +Um) >= n-m

also:

m (n-1) - dim ( U1+...+Um) >= n-m

n (m-1) >= dim (U1+...+Um)

wenn ich da induktion anwenden möchte für m=1 gibt das ja aber doch

0 >= dim (U1)
also

0 >= n-1

versteh ihc nicht. und beim induktionsschritt blick ich dann gar nicht mehr durch

19.11.2006, 00:45

wima06

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den induktionsanfang hab ich meiner meinung nach hinbekommen

Induktionsannahme: Die Formel sei richtig für den Schnitt von m-1 Unterräumen.
Induktionsschritt m-1 --> m: Wir wollen zeigen, dass die Formel dann auch für den Schnitt von m Unterräumen gilt.

Dann folgt mit Hilfe der Dimensionsformel dim $\begin{eqnarray*} ((U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) \cap U_{m}) \end{eqnarray*}$ = dim $\begin{eqnarray*} (U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) \end{eqnarray*}$ + dim $\begin{eqnarray*} (U_{m}) \end{eqnarray*}$ - dim $\begin{eqnarray*} ((U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) + U_{m}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun aber die Induktionsannhme anwende: dim $\begin{eqnarray*} (U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ n - m
bringt mich das nicht wirklich weiter, zumal dann ja
dim $\begin{eqnarray*} ((U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) \cap U_{m}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ..... folgt traurig

fehlt mir hier die entscheidende idee oder ist's an sich schon falsch?

19.11.2006, 16:27

Abakus

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Zitat:

Original von planlos85
hab die dimensionsformel angewandt:

dim U1+ ... + dim Um - dim (U1 + ... +Um) >= n-m

Wo kommt die Formel her ? Für m=1 stimmt sie i.A. nicht.

Zitat:

Original von wima06
den induktionsanfang hab ich meiner meinung nach hinbekommen

OK, es wäre gut, wenn du den der Vollständigkeit halber postest, weil der zum Beweis gehört.

Zitat:

Original von wima06
den induktionsanfang hab ich meiner meinung nach hinbekommen

Induktionsannahme: Die Formel sei richtig für den Schnitt von m-1 Unterräumen.
Induktionsschritt m-1 --> m: Wir wollen zeigen, dass die Formel dann auch für den Schnitt von m Unterräumen gilt.

Dann folgt mit Hilfe der Dimensionsformel dim $\begin{eqnarray*} ((U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) \cap U_{m}) \end{eqnarray*}$ = dim $\begin{eqnarray*} (U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) \end{eqnarray*}$ + dim $\begin{eqnarray*} (U_{m}) \end{eqnarray*}$ - dim $\begin{eqnarray*} ((U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) + U_{m}) \end{eqnarray*}$

Wenn ich nun aber die Induktionsannhme anwende: dim $\begin{eqnarray*} (U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \geq \end{eqnarray*}$ n - m
bringt mich das nicht wirklich weiter, zumal dann ja
dim $\begin{eqnarray*} ((U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) \cap U_{m}) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \leq \end{eqnarray*}$ ..... folgt traurig

Was folgt denn genau ? Du hast (soweit völlig richtig):

$\begin{eqnarray*} dim((U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) \cap U_{m}) = dim(U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) + dim(U_{m}) - dim((U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) + U_{m}) \end{eqnarray*}$

Jetzt schätze richtig ab und fange wie folgt an:

$\begin{eqnarray*} dim((U_{1}\cap ....\cap U_{m-1}) \cap U_{m}) \geq ... \end{eqnarray*}$

Den ersten Summanden kannst du nach IV verkleinern, der zweite ist nach Voraussetzung bekannt, der letzte ist entweder n oder (n-1).

Grüße Abakus smile

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