Differentialgleichung lösen

02.12.2010, 09:29	Dunpeal1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Differentialgleichung lösen Meine Frage: Hallo, ich habe folgende DGL zur Temperaturentwicklung innerhalb einer Lamelle an einem Rohr: r * d²T / dr² + dT / dr - 2 * Alpha / (s * lambda) * r * (T - T_Luft) = 0 mit T(r=r_i) = T_0 und dT / dr bei r=r_a = 0 Alle Werte außer r und T=T(r) sind konstant und bekannt. Meine Ideen: Gibt es hierzu eine analytische Lösung? Um eine Bessel-Funktion handelt es sich aufgrund des Aufbaus des letzten Terms nicht (meiner Meinung nach). Eine numerische Lösung (Schießverfahren oder FEM) wäre nur als letzter Notanker möglich. Danke für die Hilfe.
02.12.2010, 11:04	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Aufgabe beschreibt den radialen Anteil der Wärmeleitungsgleichung $\begin{eqnarray} \Delta T=q(x) \end{eqnarray}$ in Zylinderkoordinaten, $\begin{eqnarray} \underbrace{T''+\frac{1}{r}T'}_{\text{Radialteil von }\Delta T}=\underbrace{a\cdot (T-T_0)}_{\text{Wärmequelle}} \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} a=\frac{2 \alpha}{s \lambda} \end{eqnarray}$ Die rechte Seite beschreibt eine Wärmelquelle, die in einem hohlen Rohr wirkt und Wärme erzeugt bzw. verbraucht. In diesem Falle liefert die Wärmequelle auf der rechten Seite um so mehr Wärme, je größer die Temperaturdifferenz zwischen der Lufttemperatur $\begin{eqnarray} T_0 \end{eqnarray}$ und der Rohrtemperatur T ist. Für das hohle Rohr gelten folgende Randbedingungen Beim Innenradius herrscht die Lufttemperatur, also $\begin{eqnarray} T(r_i)=T_0 \end{eqnarray}$ Beim Außenradius verschwindet der Wärmeabfluss $\begin{eqnarray} \frac{T(r_a)}{dr}=0 \end{eqnarray}$ (absolute Wärmeisolation) Multiplikation der obigen Differentialgleichung mit r² liefert $\begin{eqnarray} r^2T''+rT'-a\cdot r^2T=a\cdot r^2T_0 \end{eqnarray}$ Das ist eine inhomogene Besselsche Dgl.
03.12.2010, 08:49	Dunpeal1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo Ehos, vielen Dank für die schnelle und sehr hilfreiche Antwort! Ich habe die Differentialgleichung gelöst: $\begin{eqnarray} T(r) = \frac{T_0 - T_{Luft}}{J_0(kr_i) * N_1(kr_a) - J_1 (kr_a)N_0 (kr_i)} * \left[ N_1 (kr_a) J_0 (k * r) - J_1 (kr_a) N_0 (k * r) \right] + T_{Luft} \end{eqnarray}$ wobei $\begin{eqnarray} J_0, N_0 \end{eqnarray}$ die Bessel-Funktion 1. bzw. 2. Art der Ordnung 0 darstellen. Die geplottete Lösung mit physikalisch sinnvollen Werten macht durchaus Sinn. Meine Frage ist nun, ob es möglich ist, diese Funktion durch eine (möglichst einfache) Funktion abzubilden. Etwa durch einen Potenzansatz der Form: $\begin{eqnarray} T(r) = \sum_{\nu = 0}^{\infty} a_{\nu} \cdot r^{\nu} \end{eqnarray}$ Ich habe diese Funktion in die DGL eingesetzt und erhalte folgende Gleichung: $\begin{eqnarray} \sum_{\nu = 3}^{\infty} a_{\nu} \cdot r^{\nu} \left( \nu^2 \cdot a_{\nu} - \frac{2 \alpha}{s \cdot \lambda} \cdot a_{\nu - 2} \right) + r^2 \cdot \left[ \frac{2 \alpha}{s \cdot \lambda} (T_{Luft} - a_0) + 4 a_2 \right] + r \cdot a_1 = 0 \end{eqnarray*}$ Beim Koeffizientenvergleich versagt der Ansatz leider. Hat noch jemand eine Idee? Ich würde auch einen Fehler von 10% im Vergleich zur exakten Lösung in Kauf nehmen.
03.12.2010, 08:54	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Besselfunktionen (und Hankel- und Neumanfunktionen) sind doch selbst Potenzreihen. Vernachlässige dabei einfach die Summanden höherer Ordnung und nimm als Näherung nur die ersten Summanden.
03.12.2010, 08:57	Dunpeal1987	Auf diesen Beitrag antworten »
Für die Bessel-Funktion 1. Art und 0. Ordnung hab ich einen Potenzreihenansatz gefunden. Für die restlichen leider nicht. Hast du vielleicht noch eine Quellenangabe für mich (möglichst frei verfügbar)?
03.12.2010, 11:39	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Im Bronstein: "Taschenbuch der Mathematik" sind diese Funktione tabelliert.
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