Kürzeste Wege |
| 02.12.2010, 10:19 | Sammy. Bang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Kürzeste Wege so dass der Weg ACB minimal wird. A hat die Angaben ( 0/6) und B (20/9). und nun wird c gesucht (a/0) Jetzt ist meine Frage, ob diese Aufgabe auch eine Extremwertaufgabe ist, da irgendwie keine gebrauchbaren Angaben mitgegeben wurden? |
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| 02.12.2010, 10:33 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| RE: Kurzeste Wege Wieso sollen da keine brauchbaren Angaben sein? Ist die Vorgabe der Punkte A und B nicht brauchbar? Und ja, es ist eine Extremwertaufgabe. |
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| 02.12.2010, 10:35 | Mathewolf | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dies ist eine Extremwertaufgabe. Brauchbare Informationen sind dir mit der Angabe der beiden Fixpunkte und dem variablen Punkt sehr wohl gegeben. Was könnt hier die Hauptbedingung und was die Nebenbedingung sein? edit: Klarsoweit war schneller. |
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| 02.12.2010, 11:15 | Sammy. Bang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
hmm? die hauptbeding müsste dann ja die kürzeste Strecke sein, also : strecke von ac + die strecke von cb= strecke von acb... oder? |
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| 02.12.2010, 11:24 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Auch wenn die Aufgabensteller vermutlich eine analytische Lösung im Sinn haben, so erhält man durch eine passende Spiegelung doch einen viel einfacheren Weg: [attach]16950[/attach] 
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| 02.12.2010, 11:27 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das mag zwar stimmen, die Aufgabenstellung läßt aber vermuten, daß sie mit den Mitteln der Extremwertbestimmung zu lösen ist.
Ja. |
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| 02.12.2010, 11:28 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Die Spiegelung kann zur Kontrolle dienen. Auf dieses Gesetz zurückzugreifen, ist aber nicht im mathematischen Sinne. Das Problem soll also durchaus mittels Extremwertberechnung bewerkstelligt werden. Umso schöner ist dann der Beweis, dass bei der Spiegelung tatsächlich der kürzeste Weg zurückgelegt wird. mY+ |
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| 02.12.2010, 11:30 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist vielleicht nicht im Sinne des Aufgabenstellers, und so habe ich es ja auch formuliert. Als nicht "im mathematischen Sinn" würde ich es jedenfalls nicht bezeichnen. 
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| 02.12.2010, 11:35 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es ist zunächst eine rein physikalische Vermutung, welche mathematisch zu beweisen ist! Und da sind wir wieder bei der Extremwertberechnung. mY+ |
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| 02.12.2010, 11:53 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn du in Frage stellst, dass die kürzeste Verbindung zweier Punkte die Verbindungsstrecke ist, dann musst du das aber auch auf die Teilwege (!) von A nach C und dann auch von C nach B bezogen in Frage stellen! Hattest du das bei dem analytischen Weg oben auch vor?
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| 02.12.2010, 12:07 | wisili | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Der Weg AB' und damit AB in R. Grubers Skizze ist der kürzeste. Das hat mit einem Lichtweg, der als physikalische Behauptung auch der kürzeste sein soll, gar nichts zu tun. Das Wort «Spiegelung» mag zwar an Licht erinnern, ist aber hier ein geometrischer Begriff. |
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| 02.12.2010, 12:24 | Sammy. Bang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Das verwirrt mich! Ich wollte eig. nur wissen , wie man genau diese aufgabe berechnet: Gesucht ist also der kürzeste Weg über die Punkte A,B und C. Also ist die Hauptbedingung: AC'+CB'= ACB' Allerdings erkenne ich die Nebenbedingung leider nicht?: Vllt A und B imaginär verbnden und dann hätte ich ein Dreieck, oder? |
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| 02.12.2010, 12:42 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Tu so, als würde es die beiträge von Rene Gruber und die Antworten darauf gar nicht geben.
Nein. Die Hauptbedingung hattest du eigentlich schon genannt, nämlich daß die Summe der Strecken AC und CB minimal wird.
Die Nebenbedingung ist, daß die y-Koordinate des Punktes C gleich Null ist. |
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| 02.12.2010, 12:49 | Sammy. Bang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
es tut mir leid, aber ich sehe zwischen den Bedingungen gar keinen Zusammenhang 
Ich glaub ich kann das einfach nicht |
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| 02.12.2010, 13:31 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also jetzt berechne mal den Abstand zwischen den Punkten A und C. Das kann ja nicht so schwer sein. |
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| 02.12.2010, 15:01 | Sammy. Bang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also der abstand zwischen A und C ist ja a und der Abstand von C zu b ist dann 20-a, richtig? |
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| 02.12.2010, 15:08 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nein. Zeichne doch mal den Punkt A in ein Koordinatensystem und meinetwegen den Punkt C bei (10, 0). Welchen Abstand haben nun diese Punkte? |
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| 02.12.2010, 15:54 | Sammy. Bang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
11,6 cm? was bringt mir das aber? |
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| 02.12.2010, 16:13 | Sammy. Bang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich glaube nun versteh, was Sie meinen! Satz der Pythagoras! dann wäre die strecke AC'= Wurzel aus a^2+6^2 und die strecke CB'= wurzel aus(20-a)^2+9^2 |
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| 02.12.2010, 16:15 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Es geht nicht um die Teilwege an sich, sondern um ihre Summe, welche ein Minimum werden muss. mY+ |
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| 02.12.2010, 16:20 | Sammy. Bang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
also dann: Wurzel aus (6^2+a^2)+ Wurzel aus ((20-a)^2+9^2) |
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| 02.12.2010, 16:20 | René Gruber | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@mYthos Ich glaube einfach, du willst auf meine Argumente nicht eingehen und bringst daher eine unpassende Ausrede nach der anderen an: Wieso erklärst du für die Teilwege die Strecke automatisch als kürzesten Weg, akzeptierst es aber nicht beim Gesamtweg? Das ist zutiefst unlogisch. 
Aber ist ja auch egal: klarsoweit kümmert sich um den mutmaßlich beabsichtigten Lösungsweg (auch wenn der komplizierter ist - "für die Schule lernen wir, nicht fürs Leben"
), und das ist ja auch im Sinne des Fragestellers - was ja wohl das Primärziel des Boards ist.P.S.: Ich überlasse dir gern das letzte Wort in der Angelegenheit, du wirst es dir sowieso nehmen kraft deiner Autorität. |
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| 02.12.2010, 16:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
@Sammy Ja, dieser Ansatz ist jetzt richtig, allerdings solltest du den Term nicht einfach so hinwerfen. Was steht links davon? mY+ |
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| 02.12.2010, 16:39 | Sammy. Bang | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wie meinen Sie das denn, dass ich den Term nicht einfach so hineinschmeißen soll. |
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| 02.12.2010, 18:31 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Nun, der Term steht ja nicht alleine da. Was stellt dieser dar? Eine Wegstrecke s bzw. eine Funktion f in Abhängigkeit von a. Also sollte so etwas wie eine (Funktions-)Gleichung geschrieben werden (denn erst von dieser können Ableitungen gebildet werden) : So, und nun folgt der übliche Weg bei Extremwertberechnungen, Ableitung bilden, ... , Extremum berechnen, mittels zweiter Ableitung (oder Vorzeichenwechsel) auf Minimum prüfen. mY+ |
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| 12.12.2010, 17:06 | casanegra01 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
aber wenn man die erste ableitung bildet und dann die gleich null setzt um den minimum zu finden kriegt man eine gleichung 3.grades... wie soll man da a herausfinden? |
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| 12.12.2010, 23:20 | mYthos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Du kannst die Gleichung höheren Grades leicht vermeiden. Nach dem Quadrieren der beim Nullsetzen der Ableitung entstehenden Gleichung multipliziere mit dem gemeinsamen Nenner, belasse aber den vorkommenden Term , ohne ihn zu quadrieren, und bringe die Terme mit diesem Faktor auf eine Seite. Dann wird ausgeklammert und in der Restklammer reduzieren sich die zu Null. Es kommt Was jetzt zu tun ist, ist dir nun klar? mY+ |
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