Alle Lösungen der Gleichung bestimmen ....

02.12.2010, 11:02

matthias87

Alle Lösungen der Gleichung bestimmen ....

Habe folgende Aufgabe und weiß nicht, wie ich anfangen soll und was ich hier rechnen soll.

Aufgabe:
Bestimmen Sie alle Lösungen der folgenden Gleichung.
$\begin{eqnarray*} ln(x)-ld(x)+2lg(x) = 7 \end{eqnarray*}$

Bitte helfen!!

02.12.2010, 11:04

baphomet

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RE: Alle Lösungen der Gleichung bestimmen ....
Das ist ganz einfach, als erstes stellts du zwei der Logarithmen so dar
das du überall den selben Logarithmus nutzt. Danach kannst du das 1. Logarithmengesetz anwenden.

$\begin{eqnarray*} \log_x(a)=\frac{\ln(a)}{\ln(x)}=\frac{\lg(a)}{ \lg(x)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \log(a)+\log(b)=\log(a\cdot b) \end{eqnarray*}$

02.12.2010, 11:13

matthias87

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Meinst du das so:

$\begin{eqnarray*} \frac{ln(a)}{ln(x)}-\frac{ld(a)}{ld(x)}+\frac{2lg(a)}{2lg(x)}= 7 \end{eqnarray*}$

02.12.2010, 11:14

matthias87

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Was ist eigentlich der Unterschied zwischen lg und log?

02.12.2010, 11:16

baphomet

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Du hast etwas falsch verstanden, ich werde dir auf die Sprünge helfen:

$\begin{eqnarray*} ld(x)=\log_2x=\frac{\ln(x)}{\ln(2)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \lg(x)=\log_{10}x=\frac{\ln(x)}{\ln(10)} \end{eqnarray*}$

Dadurch würde die folgende Gleichung entstehen:

$\begin{eqnarray*} \ln(x)-\frac{\ln(x)}{\ln(2)}+2\cdot\frac{ \ln(x)}{\ln(10)}=7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(x)-1,442695\ln(x)+2\cdot 0,434294\ln(x)=7 \end{eqnarray*}$

Mittels den ersten beiden Logarithmengesetzen solltrst du auf die Lösung kommen.

Zitat:

Original von matthias87
Was ist eigentlich der Unterschied zwischen lg und log?

log meint Allgemein Logarithmen und lg steht für den dekadischen(Briggschen)
Logarithmus(Basis 10).

02.12.2010, 11:35

matthias87

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Kann man nun ln(x) wegkürzen? Oder ist das falsch, was ich denke?

02.12.2010, 11:38

baphomet

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Zeig mal als Formel was du so vorhast und wende dabei die Logairthmengesetze an.

02.12.2010, 11:40

matthias87

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Du hast ja 1,442695 diese Zahl raus. Wie hast du das in den Taschenrechner eingegeben?

02.12.2010, 11:47

baphomet

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1 geteilt durch den natürlichen Logairthmus von 2.

02.12.2010, 11:59

matthias87

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Wenn ich jetzt das hier habe:

$\begin{eqnarray*} ln(x)-1,442695ln(x)+0,868588ln(x) = 7 \end{eqnarray*}$

Kann ich dann einfach ln(x) weglassen (also kürzen)?

02.12.2010, 12:03

baphomet

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Man kann entweder Logarithmengesetze anwenden oder ln(x) ausklammern.

Ausklammern ergibt:

$\begin{eqnarray*} \ln(x)(1-1,44269504+0,86858896)=7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(x)\cdot 0,42589392=7 \end{eqnarray*}$

Nun kann man diese Logarithmusgleichung weiter umformen:

$\begin{eqnarray*} \ln x=\log_e x=16,43601768 \end{eqnarray*}$
Dies lässt sich umformen zu einer Potenz, weil der Exponent(rechte Seite der Gleichung) und die Basis(e) gegeben sind und es entsteht:

$\begin{eqnarray*} e^{16,43601768} \end{eqnarray*}$

Andere Möglichkeit des Umformens sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} e^{\ln_ex}=e^{16,43601768} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x=e^{16,43601768} \end{eqnarray*}$

02.12.2010, 12:15

matthias87

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ln(16,43601768) ???

02.12.2010, 12:18

baphomet

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Bei dem Logarithmus ist normalerweise immer die Frage nach dem Exponenten
wichtig, doch diesmal ist dieser schon gegeben(seht auf der rechten Seite der
Gleichung). welche Zahl hoch 16,... zur Basis e ergibt denn 16,...?

02.12.2010, 12:28

matthias87

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Als Ergebnis habe ich 13742691,04 raus.
Das kann doch nicht richtig sein oder?

02.12.2010, 12:30

baphomet

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In meinem Beitrag von 12:03 steht die LÖsung, die ist auch korrekt, führe
einfach die Probe durch.

02.12.2010, 12:40

matthias87

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Wie hast du mit dieser Zahl 0,42589392 gerechnet und 16,43601768 rausbekommen?

02.12.2010, 12:57

matthias87

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Wenn ich jetzt den letzten Teil verstehe, dann hab ichs gecheckt. Wie kommst du auf 16,..... wie und mit was hast du gerechnet (Taschenrechner-Eingabe)??

02.12.2010, 13:38

baphomet

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Zitat:

Original von baphomet

$\begin{eqnarray*} \ln(x)(1-1,44269504+0,86858896)=7 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \ln(x)0,42589392=7 \end{eqnarray*}$

Ich hoffe bis hier konntest du mir folgen, denn jetzt dividieren wir die Gleichung
durch 0,42589392 und erhalten dadurch

$\begin{eqnarray*} \ln(x)=16,\ldots \end{eqnarray*}$

Normalerweise ist beim LOgarithmieren immer der Exponent gesucht, doch dieser
steht ja schon auf der rechten Seite der Gleichung. Deshalb lässt sich der Logarithmus
anders darstellen und ich komme auf die Lösung.

Die Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} e^{\ln(x)}=e^{16,\ldots} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=e^{16,\ldots} \end{eqnarray*}$

Wie ich darauf gekommen bin habe ich dir bereits gezeigt.

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