Euklidischer Algorithmus, ggT, Polynom

02.12.2010, 17:24	Gosslot	Auf diesen Beitrag antworten »
Euklidischer Algorithmus, ggT, Polynom Meine Frage: Hi ich habe folgendes Problem: Ich habe 2 Polynome: $\begin{eqnarray} p = x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 1 \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} q = x^3 - x \end{eqnarray}$ Nun soll ich mit Hilfe des euklidischen Algorithmus feststellen, dass beide teilerfremd sind. Also der ggT = 1 ist. Wende ich jetzt allerdings den euklidischen Algorithmus an, so komme ich beim dritten Schritt auf -1,25 als Rest (zumindest, so wie ich es gelernt habe). Dann im vierten Schritt bleibt kein Rest. Also ist unser ggT -1,25, was aber nicht stimmt. Könnte mir bitte jemand meinen Fehler sagen? Meine Ideen: Hier noch kurz, wie ich den euklidischen Algorithmus erklärt bekommen habe: $\begin{eqnarray} 1. \frac{p}{q} = s_1 \end{eqnarray}$ und es gibt einen Rest $\begin{eqnarray} r_1<br /> <br /> 2. \frac{q}{r_1} = s_2<br /> <br /> 3. \frac{r_1}{r_2} = s_3 \end{eqnarray}$ usw... Das macht man dann so lange bis, ein $\begin{eqnarray} r_n \end{eqnarray}$ entsteht das 0 ergibt. ggT ist dann $\begin{eqnarray} r_{n-1} \end{eqnarray}$ .
02.12.2010, 17:28	chrizke	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es muss 1 rauskommen. Du wirst dich wohl einfach verrechnet haben, denn ich glaube nicht, dass du auf einmal rationale Koeffizienten bekommst. EDIT: Mit den rationalen Koeffizienten habe ich mich geirrt (Sofern ich mich nicht auch verrechnet habe). Der ggT bleibt aber 1.
03.12.2010, 14:01	Gosslot	Auf diesen Beitrag antworten »
Aber wie komme ich dann auf den ggT 1?
03.12.2010, 15:19	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
q enthält nur 3 Linearfaktoren, die sind in p nicht enthalten, daher ist ggT(p,q)=1 schon klar. Der euklidische Algorithmus muss das dann natürlich auch zeigen.
31.12.2010, 00:59	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Hallo, ich habe gerade versucht diese Aufgabe nachzurechnen, da ich mich mit dem euklidischen Algorithmus von Polynomen beschäftige. Allerdings komme ich da auf ganz komische Zahlen. Ich schreib mal hin wie ich vorgegangen bin... Wär nett wenn ihr mir kurz sagen könntet, ob das so stimmt bisher, oder ob ich was völlig falsch gemacht habe. Also. Beim euklidischen Algorithmus schaut man ja wie oft ein Polynom in das andere passt (hier bin ich mir schon unsicher: Welches Polynom in welches, stets das mit dem kleineren Grad in das mit dem größeren Grad und wenn der Grad gleich ist schaue ich auf die Koeffizienten?) Naja, hier habe ich so angefangen, dass ich geschaut habe, wie oft p in q passt. $\begin{eqnarray} x^4+2x^3+3x^2-1= (x^3-x) \cdot x + (2x^3+5x^2-1) \end{eqnarray}$ Dabei ist das in der hinteren Klammer mein Rest. Nun muss ich schauen wie oft der Rest in $\begin{eqnarray} x^3-x \end{eqnarray}$ passt. $\begin{eqnarray} x^3-x=(2x^3+5x^2-1)\cdot \frac{1}{2} + (-2,5x^2+x+0,5) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 2x^3+5x^2-1=(-2,5x^2+x+0,5) \cdot \ldots \end{eqnarray}$ Und so weiter... Da kommen bei mir jetzt ganz komische Zahlen raus... Stimmt das soweit? Ich bin mir ganz oben nicht sicher, ob ich da mit x multiplizieren darf oder ob ich jeweils nur mit Zahlen multiplizieren darf... Ich kenne den euklidischen Algorithmus bis jetzt nur zur Bestimmung des ggT bei großen Zahlen, nicht bei Polynomen. Ich würde mich freuen, wenn ihr mir helfen könnt. lg Duude
31.12.2010, 01:11	Grouser	Auf diesen Beitrag antworten »
Gleich dein erster Schritt macht Probleme $\begin{eqnarray} (x^4 + 2x^3 + 3x^2 -1) : (x^3 - x) = x + 2 + \frac{4x^2 + 2x - 1}{x^3 - 4} \end{eqnarray}$ Also ist $\begin{eqnarray} 4x^2 + 2x -1 \end{eqnarray}$ dein Rest.
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31.12.2010, 01:20	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
ah...Dankeschön... dann hab ich das ganze etwas falsch angegangen. Ich werde es gleich nochmals durchrechnen. Im nächsten Schritt schaue ich dann wie oft der Rest in $\begin{eqnarray} x^3-x \end{eqnarray}$ passt. Aber bei dir müsste es im Nenner $\begin{eqnarray} x^3-x \end{eqnarray}$ heißen, oder?
31.12.2010, 01:45	Duude	Auf diesen Beitrag antworten »
Also ich habe jetzt einmal weitergerechnet, aber ich bin mir nicht so sicher, ob das jetzt passt. Mit Polynomdivision komme ich dann nach deiner Rechnung auf: $\begin{eqnarray} x^3-x=(4x^2+2x-1) \cdot (\frac{1}{4}x+ \frac{1}{8}) + (\frac{6}{4}x+ \frac{1}{8}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} 4x^2+2x-1=(\frac{6}{4}x + \frac{1}{8}) \cdot (\frac{8}{3}x + \frac{10}{9}) + (-\frac{82}{72}) \end{eqnarray}$ das in der Klammer hinten ist jeweils der Rest der bei der Polynomdivision übrig blieb bzw. bei dir im Bruch dann oben stand. Habe ich das so einigermaßen richtig gerechnet? Ich bekomme ja jetzt als Rest nur noch eine Zahl raus. Deshalb kann ich jetzt auch nicht mehr mit Polynomdivision weitermachen... Was kann ich jetzt tun um den ggT zu bestimmen?

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