Siebformel / Stirlingzahlen Anwendung Permutation

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chrissi2999 Auf diesen Beitrag antworten »
Siebformel / Stirlingzahlen Anwendung Permutation
Meine Frage:
Hallo,
ich habe hier zwei Aufgaben, zu denen ich einfach keinen zugang finde. Ich gehe davon aus, dass sie beide mithilfe der Siebformel gelöst werden können... Aber wie?

1)In wievielen Permutationen von , kommt keines der Muster 12, 34, 56, 78 vor?



Und die zweite aufgabe:
2) Wenn ein Würfel 12 mal geworfen wird, wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 6 Zahlen mindestens einmal gefallen sind?

Meine Ideen:
1) Das Muster 12 kommt ja in vor, wenn es ein i mit =1 und =2 gibt.
Weiter weiß ich nicht... :-(

und zur 2. Aufgabe: Alle möglichen Wurfbilder werden ja durch ermittelt (also:). und jenachdem wie oft die 6 vorkommt (zb. i mal die 6) bleiben fur die restlichen 12-i Würfe nich die Zahlen 1-5 also: .
... und jetzt weiß ich nicht weiter.
Wär super, wenn mir jemand von euch weiterhelfen könnte. Lg
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Siebformel / Stirlingzahlen Anwendung Permutation
In deiner Überschrift steht es doch! Die beiden Aufgaben schreien hilfesuchend nach der Siebformel. Weshalb wendest du sie nicht an?

1) Sei P die Menge aller Permutationen. Die Indizes i = 1, 2, 3, 4 sollen die nicht erlaubten Muster 12, 34, 56, 78 bezeichnen. Es sei die Menge der Permutationen, die das Muster i enthalten. Dann ist zu berechnen:



Das dröselst du nach der Siebformel auf und ermittelst dann die einzelnen Beiträge.

2) Da nach Wahrscheinlichkeiten gefragt ist, sollte man die Zahl der Wurfbilder so berechnen, dass diese alle gleich wahrscheinlich sind, d. h. unter Beachtung der Reihenfolge. Dann giibt es insgesamt



Wurfbilder. Sei die Menge der Wurfbilder, die die Zahl i nicht enthalten. Dann ist zu berechnen:



Das dröselst du wieder nach der Siebformel auf.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Es sei die Menge der Permutationen, die das Muster i nicht enthalten

Hier hast du dich vermutlich verschrieben: M.E. musst du das nicht hier streichen, damit alles stimmig ist.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Zitat:
Original von Huggy
Es sei die Menge der Permutationen, die das Muster i nicht enthalten

Hier hast du dich vermutlich verschrieben: M.E. musst du das nicht hier streichen, damit alles stimmig ist.

Klar!
Habe es editiert.
chrissi2999 Auf diesen Beitrag antworten »

Also wenn ich das jetzt richtig verstehe ist die Menge dann die Menge, in der mindestens das Muster 12 vorkommt (Es können aber auch die anderen muster auftauchen) also (8-1)! mögliche Permutationen.
wäre dann (8-2)! und hier werden alle muster abgezogen, in denen mindestens das 1. und 2. Muster auftaucht. usw.
???
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von chrissi2999
Also wenn ich das jetzt richtig verstehe ist die Menge dann die Menge, in der mindestens das Muster 12 vorkommt (Es können aber auch die anderen muster auftauchen) also (8-1)! mögliche Permutationen.

Richtig. Freude

Zitat:
Original von chrissi2999
wäre dann (8-2)! und hier werden alle muster abgezogen, in denen mindestens das 1. und 2. Muster auftaucht.

Nein, das hast du missverstanden: ist die Menge aller Permutationen, in denen das Muster 34 vorkommt, d.h. auch hier ist .

Was du beschrieben hast, bekommt man dann erst beim Durchschnitt dieser , also etwa bei . Und diese Durchschnitte (dann auch 3-er und 4-er-Durchschnitte) benötigt man ja beim Ausrechnen per Siebformel!
 
 
chrissi2999 Auf diesen Beitrag antworten »

Also erhalte ich die Permutationen ohne diese vier muster Folgendermaßen:



und mit eingesetztem n:



...und dann nur noch ausrechnen?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig. Man kann übrigens die vorn quasi als Summand in die Summe integrieren, d.h. es ist

.

Aber das nur nebenbei. Augenzwinkern
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

So ganz stimmt das noch nicht. Man muss die Terme schon etwas invidueller bestimmen. Bei taucht zwar tatsächlich der Faktor 7! auf, weil es für die restlichen 6 Plätze 6! Möglichkeiten der Belegung gibt und das fragliche Muster an 7 Positionen stehen kann, aber der Vorfaktor ist doch

und nicht

weil es ja nur 4 verbotene Muster gibt.

Bei und ist die Zahl der freien Plätze dann nur 4 bzw. 2, der Vorfaktor iat analog oben zu korrigieren und man muss sich überlegen, wieviele Möglichkeiten es gibt, dann die 2 bzw. 3 verbotenen Muster auf die 8 Plätze zu verteilen.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Oh Shit, auf das da oben im Binomialkoeffizienten habe ich gar nicht geachtet - danke. Hammer

Die Fakultäten sind aber durchaus in Ordnung, d.h., die richtige Formel ist

.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von René Gruber
Die Fakultäten sind aber durchaus in Ordnung,

Ja, passt. Ich hatte sie nur anders zusammengebastelt.
chrissi2999 Auf diesen Beitrag antworten »

ok, dann habe ich es verstanden :-)

Dankeschön an euch!
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