Abzählbarkeit algebraischer Zahlen

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Abzählbarkeit algebraischer Zahlen
Meine Frage:
z.z., dass die Menge der algebraischen Zahlen abzählbar ist unter Verwendung der Tatsache, dass eine Polynomfkt n-ten Grades höchstens n Nullstellen hat in den reellen Zahlen.

Meine Ideen:
Algebraisch heißt eine Zahl ja dann, wenn sie Nullstelle einer Polynomfunktion mit rationalen Koeffizienten ist (Def.)
Und den Beweis würde ich dann dadurch erbringen, dass ich einfach sage dadurch, dass ich n Nullstellen habe und n eine natürliche Zahl ist, die abzählbar ist sind auch meine algebraischen Zahlen abzählbar. Aber irgendwie habe ich dann nicht mit drin, dass ich rationale Koeffizienten habe - oder ist das nicht so wichtig?
Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch mal dir zu helfen. Vielleicht versteh ich dich falsch aber du sollst nicht zeigen, dass ein Polynom, das nicht das Nullpolynom ist höchstens abzählbare viele Nullstellen hat, sondern zeigen, dass alle Polynome zusammen nur abzählbare viele Nullstellen haben.

Ich würde damit anfangen zu zeigen, dass es nur abzählbarviele Polynome vom Grad n gibt.


Die rationalen Koeffzienten sind sehr wichtig ansonsten hätten allein die Polynome vom Grad 1 schon überabzählbar viele Nullstellen. Beispielsweise folgende Menge von Polynomen, wobei a alle reellen Zahlen durchläuft.

-_- Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Bier17(...)
Ich würde damit anfangen zu zeigen, dass es nur abzählbarviele Polynome vom Grad n gibt.
(...)


Ok ist das durch die Definition einer Polynomfunktion nicht schon gegeben?

und . Die natürlichen Zahlen sind abzählbar und damit auch die Polynome.
Bier17 Auf diesen Beitrag antworten »

Das folgt natürlich aus den Voraussetzungen, aber begründen muss man es schon noch.
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

OK also es folgt aus den Vorrausetzungen und nach Def. ist eine Menge dann abzählbar, wenn sie nicht mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen ist. Da jedes n aber Element der natürlichen Zahlen ist, kann die Menge aller n nicht mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen sein und ist somit abzählbar. Wäre das eine Begründung?

Wo ich im Moment leider noch nichts mit anfangen kann ist, dass mit den rationalen Polynomen. Ich könnte zwar schreiben, dass auch die rationalen Zahlen abzählbar sind - aber erstens verstehe ich ja den Beweis dann selbst nicht mehr und zweitens weiß ich auch nicht, ob das überhaupt die richtige Antwort ist.
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Die Menger M aller rationalen Polynome ist doch gegeben durch , wobei die Menge aller rationaler Polynome vom Grad n ist.

Nun kann man doch relativ leicht auf bijektiv abbilden.

Was folgt daraus für M?

Nun ist die Menge aller Nullstellen aller rationalen Polynome (ausgeschlossen Nullpolynom) doch gegeben durch , wobei N(p) die Menge der Nullstellen des Polynoms p ist. Was kannst über deren Mächtigkeit aussagen?

Was folgt insgesamt?
 
 
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich bijektiv auf Q abbilde (wobei ich gerade gar nicht weiß wie...) erhalte ich rationale Zahlen & diese sind abzählbar damit ist die Menge abzählbar (ja bijektiv).
Und zur Mächtigkeit von N(p) kann ich sagen, dass ich höchstens n Nullstellen habe... oder?
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

zu N(p) nochmal. Das ist die Vereinigung der Nullstellen jeder Polynomfunktion(?) - und jede Polynomfunktion hat abzählbar viele Nullstellen (je nach Grad n, max. n Nullstellen). In der vereinigten Mengen habe ich dann also rationale Zahlen und weil diese abzählbar sind sind die algebraischen Zahlen abzählbar.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Bisher ergab für mich kein einziges deiner Argumente irgendwie Sinn.

Zur Verdeutlichung, wie du hier vorgehen kannst: (Die bisherigen Tipps gehen in die richtige Richtung, sind aber sehr schwammig)

Sei die Menge aller rationalen Polynome. Eine Möglichkeit, die Abzählbarkeit dieser Menge zu zeigen, ist es, eine injektive Einbettung in eine (bekannte) abzählbare Menge zu geben. Genau das ist hier am einfachsten.

Nun teile auf in , wobei die rationalen Polynome vom Grad n sind. In welche abzählbare Menge kann man jedes sinnvoll einbetten? (Mach dir darüber mal Gedanken! Das ist der Knackpunkt.)

Hast du dies, so bist du fast fertig. Du darfst eine Tatsache aus der Mengenlehre benutzen, nämlich, dass jede abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen wieder abzählbar ist. Das heißt hier also, dass abzählbar ist. Wie könnte man jetzt sinnvoll eine injektive Abbildung von nach definieren?
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Sly
Nun teile auf in , wobei die rationalen Polynome vom Grad n sind. In welche abzählbare Menge kann man jedes sinnvoll einbetten? (Mach dir darüber mal Gedanken! Das ist der Knackpunkt.)

In die Menge der rationalen Zahlen. Da jedes Polynom rational ist. Aber vermutlich zu einfach gedacht?
Zitat:
(...)
Hast du dies, so bist du fast fertig. Du darfst eine Tatsache aus der Mengenlehre benutzen, nämlich, dass jede abzählbare Vereinigung von abzählbaren Mengen wieder abzählbar ist. Das heißt hier also, dass abzählbar ist. Wie könnte man jetzt sinnvoll eine injektive Abbildung von nach definieren?

da hakt es immer noch unglücklich
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von -_-
In die Menge der rationalen Zahlen. Da jedes Polynom rational ist. Aber vermutlich zu einfach gedacht?


Ja! Du kannst nicht einfach vage Vermutungen äußern. Wenn du die Abbildung nicht explizit hinschreiben kannst, hast du es noch nicht verstanden.

Und NEIN, es ist nicht einfach die Menge der rationalen Zahlen. Die Bildmenge hängt ab von dem einzelnen n!

Zitat:
da hakt es immer noch unglücklich


Ja selbstverständlich. Solange du obigen Knackpunkt nicht hast, ist dieser Schritt nicht machbar.
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Ich glaube der ganzen Sachen näher zu kommen.
Es ist der weil Mn sind ja alle Polynome vom Grad n.
Und für jeden Grad habe ich ja alle rationalen Zahlen als Polynome deswegen nehme ich den
Habe mir da mal ein Beispiel zu überlegt:
Wenn ich eine Polynomfunktion ersten Grades nehmen habe ich demnach ja als Menge aller Polynome. Ist klar da ja alle Polynome rational sind - ich darf jede rationale Zahl als Polynom einsetzen.
Nehme ich dan eine Polynomfunktion zweiten Grades habe ich den und auch das macht auf einmal Sinn. Denn ich habe sozusagen zwei Mal alle rationalen Zahlen als Polynome. Ich kann dann ja bei einem Vektor aus dem beispielsweise schrieben V = (p1,p2) wenn p1 alle Polynome sind für den ersten Grad und p2 alle Polynome für den zweiten Grad.

Ich weiß nicht warum aber ich glaube da hat es gerade klick gemacht bei mir.
Sly Auf diesen Beitrag antworten »

Nee, falsch. Sry, aber auch davon ergab nichts Sinn.

Poste nicht nochmal, dass du glaubst es verstanden zu haben, OHNE die Abbildung hinzuschreiben.
Von mir aus können wir DANN darüber reden, ob du es verstanden hast.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Das Problem an diesem Thread scheint mir zu sein, das alle Helfer den richtigen Weg aufzeigen, aber niemand erklärt -_- warum seine Argumente nicht funktonieren.
(Das soll keine Schelte sein, ich will nur darlegen warum jetzt auch noch anfange zu posten)

Zitat:
Original von -_-
OK also es folgt aus den Vorrausetzungen und nach Def. ist eine Menge dann abzählbar, wenn sie nicht mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen ist. Da jedes n aber Element der natürlichen Zahlen ist, kann die Menge aller n nicht mächtiger als die Menge der natürlichen Zahlen sein und ist somit abzählbar. Wäre das eine Begründung?


Das ist falsch. Die Tatsache dass die natürlichen Zahlen abzählbar sind, reicht nicht um zu begründen, dass es nur abzählbar viele rationale Polynome gibt.

Klar wird das wenn man die etwa die rellen Polynome "zählt".

Man kann diese Menge nach dem Grad aufteilen. Man definiert sich also die Mengen aller reellen Polynome vom Grad n:

(Beachte das hier das n fest ist wenn man eine der Mengen bildet, während es in der obigen Definition beliebig ist.)
z.B.
Die Menge aller linearen Funktionen mit Koeffizienten aus

Oder die Menge aller quadratischen Funktionen:


Das jedes Polynom einen eindeutigen Grad hat, erhält man wenn man alle Mengen zusammennimmt wieder alle Polynome, also


Mit deiner Argumentation kann man jetzt zeigen: Die die natürlichen Zahlen sind abzählbar, also gibt es abzählbar viele Mengen .
Soweit ist das okay.
Wie man aber gleich sehen wird, heißt das nicht, dass die Vereinigung aller dieser abzählbaren Mengen abzählbar ist.
Wenn man sich nämlich , also die Menge aller konstanten reellen Polynome ansieht, so ist diese überabzählbar. (Es gibt ja schießlich zu jeder reellen Zahl ein konstantes Polynom.)
Somit müss auch die Menge aller reellen Polynome überabzählbar sein.
-_- Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal vielen Dank, dass du dir die Arbeit gemacht hast mit dem ausführlichen Post.
Jetzt habe ich nur eine Frage, es sind lt. Aufgabe alle Koeffizienten rational, müsste es dann nicht heißen ?
Deinen zweiten Teil mit der konstanten Funktion habe ich dadurch erschlage, dass in der Aufgabe steht, dass es sich um nicht konstante Polynomfunktionen handelt.
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Um Konsistenz mit vorherigen Beiträgen zu bewahren, empfehle ich dringend die Nomenklatur bei


zu belassen
Mir ging es in meinem Post nur darum zu zeigen, dass deine Argumentation falsch ist indem ich eine Menge von Polynomen konstruiere, welche überabzählbar ist.

Du hast argumentiert:

denn

Es gibt nur abzählbar viele Mengen , also muss abzählbar sein.

Dieser Beweis nutzt keine der Eigenschaften von , außer der Tatsache, dass es sich abzählbar zerlegen lässt.

Nun hab ich die Menge als Gegenbeispiel angeführt. Die lässt sich nämlich auch in abzählbar viele Teile zerlegen, diese Teile sind aber selbst überabzählbar und damit auch P.

Du musst also deinen Beweis der Tatsache, dass abzählbar ist, nochmal führen. Deine momentane Version gilt nicht.
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