Erwartungswert

03.12.2010, 17:18

Riemannson

Auf diesen Beitrag antworten »

Erwartungswert

Hallo,

ich soll entweder beweisen oder widerlegen das gilt (X,Y Zufallsvariablen):

$\begin{eqnarray*} <br /> E(X)=E(Y) \Rightarrow P(X=Y)=1<br /> \end{eqnarray*}$

und

$\begin{eqnarray*} <br /> E(|X-Y|)=0 \Rightarrow P(X=Y)=1<br /> \end{eqnarray*}$

nach gefühl würde ich sagen die erste Aussage ist falsch 2. richtig. Aber einen Beweis verwirrt

verwirrt

03.12.2010, 17:44

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Riemannson
$\begin{eqnarray*} <br /> E(X)=E(Y) \Rightarrow P(X=Y)=1<br /> \end{eqnarray*}$
[...] Aussage ist falsch

So ist es, also gib einfach ein Gegenbeispiel an, was du nach Lust und Laune selbst konstruieren kannst.

Zitat:

Original von Riemannson
$\begin{eqnarray*} <br /> E(|X-Y|)=0 \Rightarrow P(X=Y)=1<br /> \end{eqnarray*}$
[...] 2. richtig.

Ebenfalls richtig. Hier kommst du um einen Beweis nicht herum, der kann z.B. auif der Stetigkeit des W-Maßes P beruhen, d.h. der Eigenschaft

$\begin{eqnarray*} \lim\limits_{n\to\infty} P(A_n) = P(A) \end{eqnarray*}$

für eine monoton fallende Ereignisfolge $\begin{eqnarray*} A_n \end{eqnarray*}$ mit Grenzwert $\begin{eqnarray*} A:=\bigcap_n A_n \end{eqnarray*}$ .

03.12.2010, 18:07

Riemannson

Auf diesen Beitrag antworten »

super danke soweit! aber ich hab probleme mir

$\begin{eqnarray*} P(X=Y)=1 \end{eqnarray*}$ vorzustellen! Heißt das $\begin{eqnarray*} X(\omega)=Y(\omega)\ \ \forall \omega \end{eqnarray*}$

03.12.2010, 18:16

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

In einem diskreten Wahrscheinlichkeitsraum ja - allgemein nicht, da kann es schon nichtleere Ausnahmemengen der Wahrscheinlichkeit Null geben.

03.12.2010, 18:33

Riemannson

Auf diesen Beitrag antworten »

X,Y sind diskret, heißt das meine Aussage stimmt? wenn ja hab ich ein Gegenbeispiel für die erste Implikation zum beispiel beim Würfeln. Sei X = "Augenzahl" und $\begin{eqnarray*} Y=\begin{cases} 0 \text{ falls Augenzahl ungerade}, <br /> 7 \text{ falls Augenzahl gerade} \end{cases} \end{eqnarray*}$

dann:

$\begin{eqnarray*} E(X)=E(Y)=3,5 \text{ aber } P(\omega : X(\omega)=1)=\frac{1}{6} \not= 0=P(\omega : Y(\omega)=1)<br /> \end{eqnarray*}$

03.12.2010, 18:46

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist schonmal korrekt.

Für den Beweis der zweiten Aussage noch ein kleiner Tipp:

Mache dir mal klar, dass gilt:

$\begin{eqnarray*} 1_{|X-Y|\geq 1} \leq n|X-Y| \end{eqnarray*}$

Danach schaust du dir nochmal die erste Antwort von René Gruber an.

edit: ahh Sorry, du wirst halt deinem Willen nach immer offline angezeigt Augenzwinkern

Augenzwinkern

Anzeige

03.12.2010, 18:47

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

@Riemannson

Ja, so geht's. Der zweite Teil der Begründung kann allerdings noch einfacher ausfallen, denn $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ haben ja bei dir sogar disjunkte Wertebereiche (1..6 einerseits, 0 und 7 andererseits), also ist sofort $\begin{eqnarray*} P(X=Y)=0 \end{eqnarray*}$ klar. Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.12.2010, 19:17

Riemannson

Auf diesen Beitrag antworten »

@Rene Ja stimmt, so sieht man´s deutlich!

@tmo das gilt? verwirrt

verwirrt

das heißt doch $\begin{eqnarray*} 1\leq n|X-Y| \end{eqnarray*}$ oder irre ich?

03.12.2010, 19:20

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Riemannson
@tmo das gilt? verwirrt

verwirrt

das heißt doch $\begin{eqnarray*} 1\leq n|X-Y| \end{eqnarray*}$ oder irre ich?

Wie ist denn $\begin{eqnarray*} 1_A \end{eqnarray*}$ für eine beliebige Menge A definiert?

@René Gruber: Kannst du wieder weitermachen? Ich bin weg. Oder halt irgendjemand anders.

03.12.2010, 19:32

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

@tmo

Ja, ich bin noch ein Weilchen da. Ich nehme an, du hast dich oben verschrieben und meinst eigentlich

$\begin{eqnarray*} 1_{|X-Y|\geq \frac{1}{n}} \leq n|X-Y| \end{eqnarray*}$ .

03.12.2010, 20:04

Riemannson

Auf diesen Beitrag antworten »

okay für $\begin{eqnarray*} |X-Y|\geq\frac{1}{n} \ \ ist \ \ |X-Y|=(\frac{1}{n}+R), \text{ wobei R} \geq 0 \Rightarrow n|X-Y|=\frac{n}{n}+\frac{R}{n} \geq 1 \text{ da R größer 0} \Rightarrow 1_{|X-Y|\geq \frac{1}{n}}\leq n|X-Y| \end{eqnarray*}$

somit ist das klar aber jetzt fehlt der Umschwung zur stetigkeit eines W-Maß´es?

03.12.2010, 20:09

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Bekanntlich gilt $\begin{eqnarray*} P(A) = E(1_A) \end{eqnarray*}$ für jedes Ereignis $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ , wende das doch mal jetzt auf diese Ungleichung an.

03.12.2010, 20:41

Riemannson

Auf diesen Beitrag antworten »

ich hoffe ich bin auf dem richtigen Weg:

$\begin{eqnarray*} <br /> P(|X-Y|\geq \frac{1}{n})=E(1_{|X-Y|\geq \frac{1}{n}}) \leq E(n|X-Y|)=nE(|X-Y|) =0 \text{ da } E(|X-Y|)=0 \text{ laut Voraussetzung } \Rightarrow P(|X-Y|\geq \frac{1}{n})=0 \text{ da } P(...) \geq 0 \end{eqnarray*}$

richtig soweit?

03.12.2010, 20:59

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja.

Freude

03.12.2010, 21:22

Riemannson

Auf diesen Beitrag antworten »

und das heißt $\begin{eqnarray*} P(|X-Y|<\frac{1}{n})=1 \text{ aber warum ist dann auch }P(X=Y)=1 \end{eqnarray*}$ verwirrt

verwirrt

04.12.2010, 11:22

tmo

Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich habe mich da wohl verschrieben. Ist mir dummerweise nicht aufgefallen.

@Riemannson: Was ist denn $\begin{eqnarray*} \bigcap_{n \in \mathbb N} \left(|X-Y| < \frac{1}{n}\right) \end{eqnarray*}$ ?

Und dann wie gesagt: Die erste Antwort von René Gruber in diesem Thread verrät dir den Rest.

04.12.2010, 19:24

Riemannson

Auf diesen Beitrag antworten »

okay sei: $\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in \mathbb N} \Big( |X-Y|<\frac{1}{n} \Big)=:A \end{eqnarray*}$ also $\begin{eqnarray*} A_n=|X-Y|<\frac{1}{n} \end{eqnarray*}$ d.h. $\begin{eqnarray*} P(A)=1 \text{, da } P(A_n)=1 \ \ \forall n\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ also ist:

$\begin{eqnarray*} <br /> 1=P(A)=\lim_{n\to \infty} P(A_n)=\lim_{n\to \infty} P\Big(|X-Y|<\frac{1}{n}\Big)=P(|X-Y|=0)=P(X=Y) \end{eqnarray*}$

Gott

Gott

04.12.2010, 19:28

René Gruber

Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig, obwohl es bei dir im Ablauf etwas wirr aussieht - klarer wäre ein deutliches

$\begin{eqnarray*} \bigcap_{n\in \mathbb N} \Big( |X-Y|<\frac{1}{n} \Big) = \Big( |X-Y| = 0 \Big) \end{eqnarray*}$

gleich am Anfang, denn das gilt unabhängig von irgendwelchen W-Maßen, die dann erst hinzukommen.

04.12.2010, 19:37

Riemannson

Auf diesen Beitrag antworten »

super vielen dank dann hat sich ja meine Vermutung bestätigt! smile

smile

22.06.2011, 12:21

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss gerade diese Aufgabe mache und versteh auch soweit, was hier gemacht wurde.

Ich habe nur eine Frage:

Es steht ja in der Aufgabenstellung nirgends, ob man stetige oder diskrete Zufallsvariablen bzw. Erwartungswerte betrachten soll.

Ist das so zu verstehen, dass die Aussagen für diskrete UND stetige Erwartungswerte behauptet werden und man deswegen

bei a) nur ein diskretes Gegenbeispiel angeben muss und bei

b) es für diskrete und stetige Erwartungswerte zeigen muss?

Wurde hier b) für diskrete oder stetige Zufallsvariablen gezeigt?

22.06.2011, 12:39

Math1986

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dennis2010
Es steht ja in der Aufgabenstellung nirgends, ob man stetige oder diskrete Zufallsvariablen bzw. Erwartungswerte betrachten soll.

Ist das so zu verstehen, dass die Aussagen für diskrete UND stetige Erwartungswerte

Ja, genau, man geht hier über die allgemeine Definition des Erwartungswertes

Zitat:

Original von Dennis2010

bei a) nur ein diskretes Gegenbeispiel angeben muss

Ja (man hätte hier auch ein stetiges Gegenbeispiel finden können)

Zitat:

Original von Dennis2010
b) es für diskrete und stetige Erwartungswerte zeigen muss?

Wurde hier b) für diskrete oder stetige Zufallsvariablen gezeigt?

Es wurde allgemein für alle Zufallsvariablen gezeigt, also insbesondere auch für diskrete und stetige

22.06.2011, 12:41

Gast11022013

Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, mir noch nicht ganz klar.

Danke.

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »