Integralfunktion Skalarprodukt Orthonormale Basis

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captainjack Auf diesen Beitrag antworten »
Integralfunktion Skalarprodukt Orthonormale Basis
Also bei folgender Aufagabe komme ich irgendwie nicht weiter:
Es wird der vektorraum der Polynome vom Grad kleiner gleich 2 mit p,q Element aus diesem definiert.

Man soll zeigen , dass ( , ) ein Skalarprodukt ist. Man soll verwenden, dass für ein Polynom p, das auf [-1,1] nichtnegativ ist, aus dem Verschwinden des Integrals folgt, dass p|_[-1,1] = 0.....
Vor allem den Verwendunshinweis check ich gar nich^^
Cel Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Integralfunktion Skalarprodukt Orthonormale Basis
Zitat:
Original von captainjack
Man soll verwenden, dass für ein Polynom p, das auf [-1,1] nichtnegativ ist, aus dem Verschwinden des Integrals folgt, dass p|_[-1,1] = 0.....


Auf deutsch heißt das:



Ansonsten: Was muss man zeigen, damit dieses ( , ) ein Skalarprodukt ist?
 
 
captainjack Auf diesen Beitrag antworten »

1. Das Skalarprodukt ist kommutativ (symmetrisch):


2. Es gilt das Assoziativgesetz für die Multiplikation mit Skalaren (das Skalarprodukt ist homogen in jedem Argument):

3. Es gilt das Distributivgesetz (das Skalarprodukt ist additiv in jedem Argument):
also Bilinearität ist zu zeigen und positive definitheit ( was bedeutet das?)
Ist das eine Stadnardaufgabe wo man diese Eigenschaften wie z.B. beim Vektorraum abklappert?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist eine Standardaufgabe. Alles, was du brauchst, findest du zum Beispiel bei Wikipedia. Der Hinweis erschlägt eine Richtung der Aussage . Dann mach dich mal ran. Augenzwinkern
captainjack Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Danke für die Hilfestellungen wenn ich mich mal rangemacht habe und spezielle weitere Probleme auftreten....poste ich einfach....thx! Freude
captainjack Auf diesen Beitrag antworten »

Also alles ist machbar zum Beweis.....aber ich bin nun bei der postiven Definiheit angelangt und habe doch meine Probleme:
z.Z. (p,p) = 0 <-> p= 0 mit p gößergleich 0
'->': (p,p) = = 0
Ist bis jetzt alles richtig und wie mache ich weiter?
Was heißt postitve Definitheit?
captainjack Auf diesen Beitrag antworten »

Und man soll eine Orthonormalbasis von R_2[x] bezüglich (.,.) erstellen.....ich weiß es gibt das Gram Schmidt Verfahren.....aber wie mache ich das bei einem Polynom raum ?
Und exakt habe ich es nicht verstanden....bloß mal gehört...!
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Machen wir zunächst mal das:

Zitat:
Original von captainjack
z.Z. (p,p) = 0 <-> p= 0 mit p gößergleich 0
'->': (p,p) = = 0
Ist bis jetzt alles richtig und wie mache ich weiter?


Alles so weit richtig (sprachlich nur ein bisschen komisch, p = 0 reicht), was sagt dir jetzt der Hinweis? . Ein Quadrat ist was? Immer größer gleich Null.

Ein Skalarprodukt ( , ) ist übrigens positiv definit, wenn für alle gilt: (x,x) > 0.

Edit: Besser wäre zu sagen, eine Bilinearform, denn Skalarprodukte sind immer positiv definit, so sind sie gerade definiert.
captainjack Auf diesen Beitrag antworten »

Ja größer als Null oder gleich Null falls p(x) = 0 oder?
captainjack Auf diesen Beitrag antworten »

andere Beweisrichtung '<-': p=0: (0,0) = 0 0 = (p,p)
ist die positive Definitheit somit bewiesen und wie finde ich eine Orthonormalbasis?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Die positive Definitheit ist damit nicht bewiesen, damit ist bewiesen, dass ist. Wie gesagt, für positive Definitheit brauchst du das, was ich oben geschrieben habe. Das gilt aber sofort, da immer größer als Null ist.


Für eine ONB brauchen wir erst mal eine Basis vom VR. Was wäre denn eine?
captainjack Auf diesen Beitrag antworten »

Ja da der Grad höchstens 2 ist: B = (1,x,x²) oder ? (kanonische Basis)
Und für die postive Definitheit muss nur noch größer gleich 0 von (p,p) bewiesen werden was aus dem Quadrat bei der INtegrandenfunktion schon der Fall ist .....also schon bewiesen oder?
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von captainjack
Ja da der Grad höchstens 2 ist: B = (1,x,x²) oder ? (kanonische Basis)
Und für die postive Definitheit muss nur noch größer gleich 0 von (p,p) bewiesen werden was aus dem Quadrat bei der INtegrandenfunktion schon der Fall ist .....also schon bewiesen oder?


Beides mal ja.

So, du hast jetzt drei Vektoren, die linear unabhängig sind (sogar eine Basis), nennen wir sie mal Und nun klapperst du Gram-Schmidt ab, hier ist das gut beschrieben, bis zum dritten Vektor steht es sogar explizit aufgeschrieben. Gut, denn hier brauchst du ja auch nur drei. Und beachte: Die spitzen Klammern bei Wikipedia sind hier deine runden.
captainjack Auf diesen Beitrag antworten »

thx... Freude
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