Untergruppe bei bijektiven Abbildungen

18.11.2006, 15:40	BumbleBee	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppe bei bijektiven Abbildungen Hallo Mathe-Cracks, ich habe eine kleine Frage zu Untergruppen / zyklischen Gruppen: Gegeben ist folgende Menge: $\begin{eqnarray} D= \{ 1,2,3,4 \} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} M= \{ f: D \rightarrow D \| \end{eqnarray}$ f ist bijektiv $\begin{eqnarray} \} \end{eqnarray}$ Folgende Gruppe existiert, wobei die Verknüpfung die Komposition der Funktionen ist. $\begin{eqnarray} (M, \circ, id,^-1) \end{eqnarray}$ Jetzt sind vier Funktionen mit einer Tabelle definiert: (x ist erst 1, dann 2, 3, schließlich 4) f1(x)=1,2,3,4 (id) f2(x)=4,1,2,3 f3(x)=3,4,1,2 f4(x)=2,3,4,1 Jetzt sollen wir zeigen, dass $\begin{eqnarray} F= \{ f_{1},f_{2},f_{3},f_{4} \} \end{eqnarray}$ wieder eine Untergruppe von M ist. Das hab ich auch alles gemacht (F Teilmenge von M, neutrales Element, inverses Element). Allerdings zweifele ich ein bisschen an der Abgeschlossenheit. Ich kann jetzt für jede Funktion eine Verknüpfungstabelle erstellen und somit die Abg. zeigen, aber wirklich sinnvoll find ich das nicht. Gibt es nicht noch einen anderen Weg? Vor allem wenn die Funktionen grösser werden (vom Wertebereich her) macht das doch keinen Sinn mehr. Kann man nicht irgendwie über die Zyklen argumentieren?
18.11.2006, 17:10	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Du musst hier schon nachrechnen, da es sich um eine konkrete Untergruppe dreht. Warum für jede Funktion eine Verknüpfungstabelle? Du brauchst nur eine Tabelle.
18.11.2006, 17:48	BumbleBee	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. Aber es muss doch einen anderen Weg geben. Schließlich muss ich jede Funktion mit jeder anderen Funktion komponieren. Spirch: 4*4. Klar kann man das auch in eine Tabelle schreiben, aber hat sonst keiner eine Idee?
18.11.2006, 18:11	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Es gibt noch eine andere Möglichkeit. Allerdings musst du dann sauber argumentieren. Es gibt genau zwei Gruppen der Ordnung 4. Die Klein'sche Vierergruppe und die zyklische Gruppe. Beide Gruppen sind kommutativ! Untergruppenkriterium: $\begin{eqnarray} \text{i } F \not = \{\} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \text{ii } f,g\in F : f\circ g^{-1} \in F \end{eqnarray}$ i. F ist per Def. nicht leer. ii. Für $\begin{eqnarray} f = id \end{eqnarray}$ ist ii erfüllt. Man rechnet leicht nach : f3 selbstinvers, f2 invers zu f4 damit bleibt noch zu zeigen : $\begin{eqnarray} f_2\circ f_2, f_4\circ f_4,f_3 \circ f_4, f_3 \circ f_2 \in F \quad \text{ (Kommutativität) } \end{eqnarray}$
18.11.2006, 19:17	BumbleBee	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Aber ich habe jetzt doch die Tabelle erstellt. Sicher ist sicher. Eine weitere Aufgabe ist nun 10 weitere Untergruppen zu finden. Gibts da einen Trick die schnell zu finden. Hab eigentlich keine Lust jede Gruppe genau zu überprüfen.
18.11.2006, 19:30	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Untergruppen von $\begin{eqnarray} S_4 \end{eqnarray}$ ? Das ist nicht schwer. Dafür benutzt du einfach den Satz von Lagrange (Untergruppenordnung teilt Gruppenordnung). 3 UG hast du ja schon. Eine der Ordnun 4 + die beiden trivialen UG. Als nächstes nimmst du dir die Untergruppen die von einem Element erzeugt werden (also die zyklischen Untergruppen). z.B.: $\begin{eqnarray} <f_3> = \{f_3, f_3^2\} = \{id, f_3\} \end{eqnarray}$ . usw. Wenns dann noch nicht genug zusammgekommen ist schaust du dir ein paar Untergruppen an die von 2 Elementen erzeugt werden usw.
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18.11.2006, 20:00	BumbleBee	Auf diesen Beitrag antworten »
Dat is gut. Vielen Dank nochmal... Grüsse BumbleBee

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