Matrix bestimmen

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04.12.2010, 12:54	theo001	Auf diesen Beitrag antworten »
Matrix bestimmen Sei $\begin{eqnarray} A=(a^{i}_j) \in \mathbb{R}^{4x4} \end{eqnarray}$ durch die Koeffizienten in $\begin{eqnarray} f(e_j)= \sum_{i=1}^{4} a^{i}_je_i \end{eqnarray}$ gegeben. $\begin{eqnarray} e_j \end{eqnarray}$ bezeichnet den Einheitsvektor in die j-te Richtung des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} j \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 1 \leq j \leq 4 \end{eqnarray}$ . Wie sieht diese Matrix explizit aus? Und welchen Rang hat A? j bezeichnet normalerweise die Spalte und i die Zeile. Müsste dann die erste Spalte nicht so aussehen? Da i von 1 bis 4 läuft, muss es 4 Zeilen geben. Aber was genau ist denn $\begin{eqnarray} e_j \end{eqnarray}$ ?Also, ich weiß, was der Einheitsvektor ist, aber was ist denn die j-te Richtung des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ ? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} a_{11} & . &. & .\\ a_{21} & . &. & . \\ a_{31} & . &. & .\\ a_{41} & . &. & .\end{pmatrix} \end{eqnarray}$
04.12.2010, 13:58	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Matrix sieht nicht so aus, wie du sie angegeben hast, denn deine Argumentation "i,j normalerweise" funktioniert nicht. In den Spalten der Matrix stehen immer die Bilder der Basisvektoren, also ist $\begin{eqnarray} A=(a_j^i)=\begin{pmatrix} a_1^1 & a_2^1 & a_3^1 & a_4^1\\ a_1^2 & a_2^2 & a_3^2 & a_4^2\\ a_1^3 & a_2^3 & a_3^3 & a_4^3 \\ a_1^4 & a_2^4 & a_3^4 & a_4^4 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Der Rang von A ist abhängig von den Koeffizienten, allgemein kann man ihn nicht angeben. $\begin{eqnarray} e_j \end{eqnarray}$ ist der j-te Einheitsvektor.
04.12.2010, 14:32	theo001	Auf diesen Beitrag antworten »
Entschuldigung, das war jetzt mein Fehler. Sei $\begin{eqnarray} A=(a^{i}_j) \in \mathbb{R}^{4x4} \end{eqnarray}$ durch die Koeffizienten in $\begin{eqnarray} f(e_j)= \sum_{i=1}^{4} a^{i}_je_i \end{eqnarray}$ gegeben. $\begin{eqnarray} e_j \end{eqnarray}$ bezeichnet den Einheitsvektor in die j-te Richtung des $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} j \in \mathbb{N} \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} 1 \leq j \leq 4 \end{eqnarray}$ . Ich hatte vergessen, die Funktion dazu anzugeben: $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (3x_1+x_2-x_3+x_4,-x_1+x_2+3x_3+x_4,4x_3+4x_4,-2x_2+6x_3+8x_4) \end{eqnarray}$
05.12.2010, 11:07	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie ich schon sagte, stehen in den Spalten der Matrix die Bilder der Basisvektoren $\begin{eqnarray} e_j \end{eqnarray}$ . Die erste Spalte lautet dann also $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
05.12.2010, 12:46	theo001	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke, dann ist $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 4 & 1\\ 0 & -2 & 6 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Ich hoffe, dass das so stimmt, denn ich habe jetzt noch den Rang dieser Matrix berechnet. Dabei bin ich durch elementare Zeilenumformungen auf $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} -1 & 0 & 6 & 5\\ 0 & -2 & 6 & 8\\ 0 & 0 & 4 & 1\\ 0 & 0 & 0 & 15 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ gekommen. Da hier 4 Zeilen linear unabhängig sind, beträgt der Rang der Matrix 4 (vorausgesetzt, meine Berechnungen sind korrekt). Oder hätte ich vor der Berechnung die Matrix umschreiben sollen? Also die Vektoren in die Zeilen und nicht in die Spalten?
05.12.2010, 13:57	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn wir uns nicht verrechnet haben, ist der Rang gleich 4. Wegen Rang=Zeilenrang=Spaltenrang ist es für die Rangbestimmung völlig egal, ob Vektoren in Zeilen oder Spalten stehen.
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05.12.2010, 14:15	theo001	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klar, super. Ich habe noch eine Frage: Es ist ja $\begin{eqnarray} f: \mathbb{R}^4 \rightarrow \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} (x_1,x_2,x_3,x_4) \mapsto (3x_1+x_2-x_3+x_4,-x_1+x_2+3x_3+x_4,4x_3+4x_4,-2x_2+6x_3+8x_4) \end{eqnarray}$ gegeben. Wenn ich eine Basis von $\begin{eqnarray} ker(f):=\{v \in \mathbb{R}^4:f(v)=0\} \end{eqnarray}$ und eine Basis von $\begin{eqnarray} im(f):=f(\mathbb{R}^4) \end{eqnarray}$ berechnen soll, dann muss ich zuerst einmal Bild und Kern berechnen. Für das Bild kann ich einfach die Transponierte Matrix von $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 3 & 1 & -1 & 1\\ -1 & 1 & 3 & 1\\ 0 & 0 & 4 & 4\\ 0 & -2 & 6 & 8\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ nehmen. Wenn ich die transponierte Matrix dann auf Zeilenstufenform gebracht habe, habe ich auch gleichzeitig schon eine Basis berechnet. Ist das richtig? Die Nichtnull-Zeilen müssten dann eine Basis des Bildes sein. Beim Kern bin ich mir allerdings nicht so, sicher, da mich die Angabe $\begin{eqnarray} ker(f):=\{v \in \mathbb{R}^4:f(v)=0\} \end{eqnarray}$ etwas verwirrt. Ist die Matrix dieselbe oder verändert sich etwas?
05.12.2010, 14:26	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Wir haben die lineare Abbildung f und ihre Matrix A, wir wissen, dass rg(A)=dim(Im(f))=4, also wegen dim(V)=dim(ker(f))+dim(Im(f)) folgt ker(f)={0} und sind fertig.
05.12.2010, 15:01	theo001	Auf diesen Beitrag antworten »
Oh, moment. Hoffentlich habe ich das richtig verstanden: Aus dim(V)=dim(ker(f))+dim(Im(f)) folgt 4-4=0=dim(ker(f)). Die Dimension beschreibt die Anzahl der Basisvektoren. Daher folgt daraus, dass der Kern nur den Nullvektor enthält. Daher kann man auch weiter keine Basis angeben. Aber dim(Im(f))=4. Kann ich hier auch keine Basis angeben, wenn ker(f)=0 ? Gibt es dazu einen Satz? Oder wie steht das in Zusammenhang?
06.12.2010, 15:04	theo001	Auf diesen Beitrag antworten »
Tut mir leid, dass ich das Thema nochmal pushe. Aber kann mir jemand noch den letzten Beitrag erklären? Also: rg(A)=dim(Im(f))=4, also wegen dim(V)=dim(ker(f))+dim(Im(f)) folgt ker(f)={0} Wie man auf ker(f)={0} kommt, ist mir klar. Man muss ja nur in die Formel einsetzen. Aber was folgt daraus jetzt für eine Basis von im(f) bzw. ker(f)? Ist das dann ein Basisvektor von ker(f)? $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$
06.12.2010, 18:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
dim(ker(f))=0, also ist ker(f)={0}, und der Nullraum hat keine Basis, denn eine Basis ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. dim(Im(f))=4, also ist Im(f)= $\begin{eqnarray} \mathbb R^4 \end{eqnarray}$ , und eine Basis dieses Raums dürfte dir bereits bekannt sein. Tipp: Nimm $\begin{eqnarray} \{e_j\|j=1,2,3,4\} \end{eqnarray}$
06.12.2010, 18:34	theo001	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Standardbasis von $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^4 \end{eqnarray}$ ist doch $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1& 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Würde das dann passen? Vielen Dank für die Erläuterung.
06.12.2010, 18:42	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Würde passen. Eine Matrix ist aber keine Basis, sondern die Vektoren in der Matrix bilden eine Basis.

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