Äquivalenzrelation

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Tanja007 Auf diesen Beitrag antworten »
Äquivalenzrelation
Meine Frage:
Hallo alle miteinander,

ich hab hier vei der Aufgabe leider ein wenig Verständnisprobleme unglücklich

Aufgabe:

Gegeben wird im Folgendem eine Menge M und eine Relation ~ auf M. In welchen Fällen ist die Relation ~ reflexiv, symetrisch und transitiv?
Wenn es sich um eine Äquivalenzrelation handelt, dann geben Sie die Äquivalenzklasse [a] eines Elements a aus M an und bestimmen Sie ein Repräsentantensystem von M/~ in M, d.h. eine Teilmenge S C M, so dass S aus jeder Äquivalenzklasse von ~ genau ein Repräsentant enthält.

1) M = R(Reelle Zahl); a~b <=> a^2 = b^2

2) M = R(Reelle Zahl); a~b <=> a - b ist ein Element aus Z(Ganze Zahl)

3) M = Z(Ganze Zahl); a~b <=> a teilt b
(d.h. es gibt ein Element c aus Z mit b = a * c)

Meine Ideen:
ok also ich weiß, wenn eine Relation ~ reflexiv, symetrisch und transitiv ist, dann spricht man von einer Äquivalenzrelation smile

Meine Idee:
-----------

zu Aufgabenteil 1)

(R) ist Reflexiv, da
a ~ a <=> a^2 = a^2 (a ist ein Element aus M)

(S) ist Symetrisch, da
a ~ b => b ~ a <=> a^2 = b^2 => b^2 = a^2 (a,b sind Elemente aus M)

(T) ist Transitiv, da
a ~ b und b ~ a => a ~ c <=> a^2 = b^2 und b^2 = c^2 => a^2 = c^2
(a,b,c sind Elemente aus M)

kann man das so lassen oder muß man das explizit Beweisen

(S) ist Symetrisch, da
a ~ b => b ~ a <=> a^2 = b^2 => b^2 = a^2 (a,b sind Elemente aus M)

a^2 = b^2 => a^2 - b^2 = 0 => a^2 - b^2 = -(b^2 - a^2) ==> b^2 = a^2

(T) ist Transitiv, da
a ~ b und b ~ a => a ~ c <=> a^2 = b^2 und b^2 = c^2 => a^2 = c^2
(a,b,c sind Elemente aus M)

denn wenn a^2 - b^2 = 0 und b^2 - c^2 = 0
=> a^2 - c^2 = (a^2 - b^2)+(b^2 - c^2) ==> a ~ c

ist das so richtig?

Somit ist 1) also eine Äquivalenzrelation und die Äquivalenzklasse ist
[a] := {b Element aus M: a ~ b}

reicht das so oder muß ich hier noch was hinzufügen?

Was ist denn nun genau ein Repräsentantensystem?

Also ich weiß das jedes Element aus [a] ein Repräsentant aus der Äquivalenzklasse [a] sein kann also jedes Element aus [a] somit kann auch a selber Repräsentant sein oder?

Wie sieht denn nun so ein Repräsentantensystem aus?
In der Aufgabe steht ja "bestimmen Sie ein Repräsentantensystem von M/~ in M, d.h. eine Teilmenge S C M" besteht dann die Teilmenge S nur aus einem Element S := {a} ????????????

die anderen Aufgabenteile habe ich so ähnlich gelöst!

lg tanja
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

~ ist eine Äquivalenzrelation auf hast du gezeigt, das ist soweit in Ordnung. Die Bedeutung hast du anscheinend noch nicht verstanden.
Die Gleichung hat für genau zwei Lösungen in , für keine reelle Lösung. Also folgt .
Merke: Es gibt eine Bijektion zwischen Äquivalenzrelationen auf M und Partitionen von M. Das ist nicht nur theoretisch so, sondern richtig wirklich, und man kann die Klassen angeben, die zu einer Äquivalenzrelation gehören.
Tanja007 Auf diesen Beitrag antworten »

ok den teil mit der Äquivalenzklasse hab ich glaub ich nun verstanden smile

aber wie sieht denn nun so ein Repräsentantensystem aus ???
pseudo-nym Auf diesen Beitrag antworten »

Vielleicht hilft ein Beispiel:

Man betrachte den mit

wobei den Abstand des Punktes x zum Urspung darstellt, also


Diese Äquivalenzrelation teilt den in n-Sphären auf.

Nun ist etwa die -Achse

ein Repräsentantensystem, denn

also liegen verschiedene Punkte der -Achse in verschiednen Äquivalenzklassen.

Umgekehrt hat jede Sphäre einen Radius und damit enthält sie auch den Punkt

Insgesamt ergibt sich also, das es in jeder Sphäre(Äquivalenzklasse) genau einen Punkt auf der -Achse gibt. ist also ein Respräsentatensystem von
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

@Tanja007

Da die Klassen sind, ist ein Repräsentantensystem, denn man kann aus jeder Klasse das positive Element nehmen. Oder das negative, dann ist es . Oder du suchst dir irgendeine Auswahlvorschrift, die aus jeder Klasse genau ein Element auswählt, z.B. rationale Zahlen positiv, irrationale Zahlen negativ. Das ist in hübsches Repräsentantensystem, schwierig zu zeichnen, aber gerade deswegen sehr illustrativ. Augenzwinkern
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