Meine GFS, Extrempunkte, Kurvenuntersuchung

05.12.2010, 10:01

table1table1

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Meine GFS, Extrempunkte, Kurvenuntersuchung

Meine Frage:
Hallo,
Ich bin seit Freitag nachmittag an meiner GFS dran aber ich verstehe einfach nicht wie ich da vorgehen soll.... :cry:

Ich bin wirklich total am verzeifeln und komme einfach nicht zurecht damit.
Ich arbeite mit Word und Mathegrafix und muss eine Aufgabe im Buch Lösen.

Gegeben ist die Funktion f mit
f (x) = -4*x^2*e^x; x ? R und Kurve K.

a) Zeigen Sie: f´´(x) = -4*(x^2+4*x+2)*e^x
Berechnen Sie die exakten Koordinaten der lokalen Extrempunkte.

b) Zeigen Sie: Die Tangente an K in x = -1 verläuft durch den Ursprung.

c) K schneidet die Parabel mit der Gleichung y = - x^2 in zwei Punkten.
Berechnen Sie die Koordinaten dieser Punkte.

Ich hab zu a) folgende Lösung:
f(x) = -4*x^2*e^x
f´(x) =-4*(x^2+2*x)*e^x
f´´(x) = -4*(x^2+4*x+2)*e^x
N 1|2 (0/0) = H;T (-2/-16e^-2)
Waagrechte Asymptote: y=0; W1 (-0,59 | -0,76); W2 (-3,41 | -1,54)

zu b):
t: y= 4/e * x
Dies ist die Gleichung einer Urspungsgeraden.

zu c):
S 1|2 (0/0); S 3 (-ln 4/-(ln 4)^2)

Meine bitte ist einfach nur wie man auf diese Lösungen kommt. Weil ich verstehe das wirklich nicht und es wäre wirklich Super nett wenn mir das jemand erklären könnte damit ich das verstehe. Ich weiß man sollte im Forum nicht nachfragen nach "Hausaufgaben" aber ich habe mich wirklich hingesetzt und es WIRKLICH versucht, leider ohne erfolg.

Ich bitte wirklich um Hilfe.

Ich bedanke mich im Vorraus.

Allen einen Guten Sonntag smile

smile

mfg table1

Meine Ideen:
Ich hätte halt zuerst mal abgeleitet aber ich grieg das nicht hin weil ich nicht verstehe wieso bei der Lösung f´´ nochmals ein x^2 kommt, eig sollte das doch nur eine 2 sein.....

Die Nullstellen berechnen ist ja eine Sache aber dann den Hoch und Tief punkt berechnen?

Und wie ich die Waagreche Asymptote dann rausbekomme weiß ich auch nicht. Ich dachte halt das ich zuerst für y 0 ersetze aber was mache ich dann mit dem Rest?

b) und c) verstehe ich garnicht

Bitte wirklich um Hilfe...bin am verzeifeln unglücklich

unglücklich

edit: Hilferuf aus dem Titel entfernt.
LG sulo

05.12.2010, 10:12

baphomet

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RE: Meine GFS, Extrempunkte, Kurvenuntersuchung, brauche Hilfe :(
Deine Funktion lautet:

$\begin{eqnarray*} f(x)=-4x^2\cdot e^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=-4x^2<br /> u'=-8x<br /> v=v'=e^x \end{eqnarray*}$

Ableitung nach Produktenregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=(u \cdot v)'=u'v+uv' \end{eqnarray*}$

Selbiges gilt dann für die zweite Ableitung.

Extrempunkte findet man indem man die erste Ableitung 0 setzt und diese löst.
Zum Nachweis wird noch die zweite Ableitung gebraucht.

Bei dir fehlt nur noch die 2. Ableitung, aber ansosnten stimmts soweit.

Aufgabe b)Steigung der Tangente mittels 1. Ableitung deiner Funktion finden
und dann noch das diese durch den K.ursprung geht, also Punkt einsetzen.

f'(1) ist der Anstieg deiner Tangente(m), nun in Geradengleichung den
K.ursprung einsetzen: y=mx+n --> 0=m\cdot 0+0. Damit Steigung errechnet.

Aufgabe c

Die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen und diese entstandene Gleichung
dann lösen

05.12.2010, 10:50

table1table1

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Danke fürs erste. smile

smile

hab mich jetzt mal hier angemeldet weil ich sonst irgendwie nicht mehr antworten konnte. Also bin immer noch der gleiche table1 Big Laugh

Big Laugh

Jetzt habe ich die erste Funktion Abgeleitet:
f´(x) = 8x^2 * e^x + (-)4x^2 * e^x

Jetzt versuche ich gerade die 2.Ableitung zu machen aber wie wende ich nun nochmals die Produktregel an? Wo ist da denn bitte das u und das v?

05.12.2010, 10:54

baphomet

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RE: Meine GFS, Extrempunkte, Kurvenuntersuchung, brauche Hilfe :(
Ableitung nach Produktenregel:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=u'v+uv' \end{eqnarray*}$

u und v stellen deine Faktoren dar, denn wir leiten nach der Produktregel ab.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=-8xe^x-4x^2e^x<br /> f'(x)=4e^x(-2x-x^2) \end{eqnarray*}$

NUn besteht unsere 1. Ableitung wieder aus 2 Faktoren:

$\begin{eqnarray*} u=u'=4e^x<br /> v=-2x-x^2<br /> v'=-2-2x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(x)=u'v+uv' \end{eqnarray*}$

05.12.2010, 11:14

table1table1

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Hallo,

dann habe ich folgende funktion raus:
f´´(x) = 4e^x * (-2x - x^x) + 4e^x * (-2 - 2x)

Stimmt das?

Ich frage mich nun was das für Lösungen im Buch sind?

Und wenn die Funktion stimmt muss ich die erste Ableitung nun null setzten.
Also so:
f´(x) = 8 * 0^2 * e^0 + (-) 4 * 0^2 * e^0

ist das so richtig? Weil dann würde ja N 0|0 rauskommen, aber wie bekomme ich dann die Höhe (H) und die Tiefe (T) raus?

An dieser Stelle wirklich dankeschön das du mir hilfst, du bist wirklich meine Rettung. smile

smile

05.12.2010, 11:18

baphomet

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dann habe ich folgende funktion raus:
$\begin{eqnarray*} f''(x)=4e^x * (-2x - x^2) + 4e^x * (-2 - 2x) \end{eqnarray*}$

Die Ableitung ist bis auf einen Schreibfehler richtig und durch Ausklammern von e^x
kommt man auch zu der Lösung im Buch.

$\begin{eqnarray*} f''(x)=4e^x(-x^2-4x-2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=4e^x(-2x-x^2) \end{eqnarray*}$

e^x wird nie NULL, aber ein Produkt wird NULL wenn ein Faktor NULL wird, deshalb brauchen wir nur

$\begin{eqnarray*} 0=(-2x-x^2) \end{eqnarray*}$

betrachten.
Wie lauten die Lösungen

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05.12.2010, 11:43

table1table1

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okay, damit haben sich die Ableitungen schon mal geklärt und ich habe es verstanden, danke Augenzwinkern

Augenzwinkern

so, nun zu den Extrempunkten.

Du setzt ja die 1.Ableitung null also so:
$\begin{eqnarray*} 0=4e^x(-2x-x^2) \end{eqnarray*}$

Soll ich das nun nach x auflösen oder was genau bringen mir nun die Lösungen im Buch:
H; T (-2|-16 $\begin{eqnarray*} e^{-2} \end{eqnarray*}$ )

sry, aber ich komm grad nicht weiter....ich muss einfach verstehen wie man da drauf kommt.

mfg table1

05.12.2010, 11:56

baphomet

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Genau das meine ich, nun die entstehende Geichung lösen um Extremstellen zu
bestimmen:

$\begin{eqnarray*} 0=4e^x(-2x-x^2) \end{eqnarray*}$

e^x wird nie NULL, aber ein Produkt wird NULL wenn ein Faktor NULL wird, deshalb brauchen wir nur

$\begin{eqnarray*} 0=(-2x-x^2) \end{eqnarray*}$

betrachten.
Wie lauten die Lösungen?

Ich würde vorschlagen wir rechnen hier und dann kannst du Lösungen vergleichen,
denn du musst das Vorgehen einer Kurvendiskussion verstehen und es muss in
Fleisch und Blut übergehen.

05.12.2010, 12:05

table1table1

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okay,
also ich würde das so rechnen:

0 = (-2x - x^2)
Ich würde in dem fall ausklammern...
x(-2 - x) = 0

0 = x oder

0 = -2 - x | +2
2 = -x

stimmt das so?

05.12.2010, 12:11

baphomet

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Ja 2 mögliche Extremas bei 0 und -2. Doch um endgültig Extrema nachzuweisen
benötigen wir die 2. ABleitung. In diese setzen wir unsere Extremwerte ein, ist
das Ergebnis ungleich Null handelt es sich tatsächlich um ein Extrema.

05.12.2010, 13:13

table1table1

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So, ich hab mal bissle rumprobiert und so.

Ich habe doch jetzt
x1 = 0 und x2 = -2
Jetzt muss ich diese Werte ja in der Normalen Formel eingeben, also in dieser (notwendige Bedingung):
f(x) = -4x^2 * e^x

also mit 0:
f(x) = -4 * 0^2 * e^0
f(x) = 0

und nun mit -2:
f(x) = -4 * -2^2 * e^-2
f(x) = -16e^-2

Die Lösung sagt aber folgendes:
H; T(-2|-16e^-2)
Wie komm ich auf diese -2 ?

Und was ist nun genau der Extrempunkt, Tiefpunkt und der Höchstpunkt, denn ich hab doch nur zwei Ergebnisse?

Wenn wir das geklärt haben kommen wir doch zur "Die hinreichende Bedingung" oda?

mfg table1

05.12.2010, 13:18

baphomet

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$\begin{eqnarray*} 0=(-2x-x^2)<br /> x=0<br /> -x-2=0 \end{eqnarray*}$

wird zu

$\begin{eqnarray*} x=-2 \end{eqnarray*}$
Jetzt die Werte in die 2. ABleitung einsetzen um nachweisen das es wirklich Extrema
sind.

$\begin{eqnarray*} f''(0)= \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(-2)= \end{eqnarray*}$

05.12.2010, 13:27

table1table1

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okay, danke, ich versuchs grad...

05.12.2010, 13:52

table1table1

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hab das jetzt mal in word berechnet aber ich bin mir nicht sicher ob das richtig ist....

Wenn es richtig ist, was soll ich damit machen?

05.12.2010, 14:04

baphomet

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JA und jetzt kannst du bestimmen welches ein Hochpunkt und welches ein
Tiefpunkt ist.

05.12.2010, 14:14

table1table1

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hmm ok
Dann hab ich jetzt
0 = Hochstelle
und
-2 = Tiefstelle

aber im Lösungsbuch steht:
H;T (-2|-16e^-2)

Was habe ich den falsch gemacht unglücklich

unglücklich

?

05.12.2010, 14:21

baphomet

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Ich rekapituliere nochmal:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4e^x(-2x-x^2)<br /> f''(x)=4e^x(-2x-x^2)+4e^x(-2-2x)<br /> f''(x)=4e^x(-2-4x-x^2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} 0=-x^2-2x=x(-x-2)<br /> 0=-x-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_{E1}=0<br /> x_{E2}=-2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f''(0)=4e^0\cdot (-2)<0 Maximum<br /> f''(2)=4e^{-2}\cdot(-2+8-4)>0 Minimum \end{eqnarray*}$

Bisher ist alles korrekt.

05.12.2010, 14:37

table1table1

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Okay, danke schonmal, puhhhh für eine Aufgabe so viel zeit...aber immerhin habe es nun verstanden smile

smile

Zur b)
Wie soll ich da jetzt vorgehen um die Lösung zu erhalten?
y = 4/e * x
Soll ich die Tangenten Formel benützen oder was genau muss ich machen?

mfg table1

05.12.2010, 14:42

baphomet

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Die allgemeine Geradengleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} h(x)=mx+n \end{eqnarray*}$

Die Tangente(Gerade) schneidet die Funktion im Punkt 1, wir brauchen also den
Anstieg der Funktion bei 1.

$\begin{eqnarray*} f'(-1)=m \end{eqnarray*}$

Da die Funktion durch den K.ursprung verläuft fällt das Absolutglied, also n ganz weg.

05.12.2010, 14:57

table1table1

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Wir haben im Unterricht diese Formel benützt:
$\begin{eqnarray*} y=f'(u)*(x-u)+f(u) \end{eqnarray*}$

Was genau muss ich jetzt einsetzen.
Im Buch steht ja "-1". Die gebe ich dann für x ein.
jetzt fehlt nur noch "u".
Aber was soll ich dafür einsetzen? Kannst du mir das bitte sagen?
Oder wieso kommst du auf die "1" ?

05.12.2010, 15:01

baphomet

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JA mein Fehler, muss -1 heißen.

$\begin{eqnarray*} m=f'(-1)=? \end{eqnarray*}$

Und damit bist du fertig, weil die Gerade durch den K-ursprung geht, Absolutglied
gleich NULL.

05.12.2010, 15:04

table1table1

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Im Lösungsbuch steht die Lösung zu 3b:
t: y=4/e * x

Wie komme ich auf diese Lösung?
ich hab ja die Formel aber ich muss sie ja ausrechnen, oda nicht?
Auf die Lösung muss man ja irgendwie kommen, und das verstehe ich nicht, wie man auf so einer Lösung kommt.

05.12.2010, 15:11

baphomet

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Hab ich dir in meinem Beitrag gezeigt.

Die Gerade ist eine Tangente, shcnidet die FUnktion f(x) in einem Punkt, nämlich -1.
Deshalb ist der Anstieg der Funktion im Punkt -1 die Steigung der Geraden.
Damit kannst du die Geradengleichung aufstellen.

Wie schon erwähnt kann man das Absolutglied wegfallen lassen, weil die Tangente durch den Koordinatenursprung geht.

05.12.2010, 15:23

table1table1

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y=f(-1) * -1 (-) -1 + f(-1)

sry, das da oben hab ich grad aufgeschrieben aber ich verstehe einfach nicht wie ich auf diese Lösung im buch komme...auch wenn das nicht nötig ist sollte ich das wissen damit ich meine anderen Beispiele auch verstehe.
bin total am verzeifeln unglücklich

unglücklich

mfg table1

05.12.2010, 15:26

baphomet

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Nun gut:

Hier ein Beispiel:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^2 \end{eqnarray*}$

Du sollst eine Tangente an die Funktion f(x) am Punkt x=4 anlegen.

Was hast du zu tun?

05.12.2010, 15:27

table1table1

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ja fürs x muss ich 4 eintragen also:

f(4) = 4^2

und dann hab ich als ergebnis:
16

oda?

05.12.2010, 15:54

baphomet

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Hier mal eine Schritt für Schritt Anleitung um eine Geradengleichung(Tangente)
aufzustellen am Graphen f(x).

Eine Gerade hat einen konstanten Anstieg, er ist immer gleich. Damit wir eine
Geradengleichung aufstellen können benötigen wir einen Punkt an dem diese
den Graphen von f(x) berührt. In deinem Beispiel ist das -1.
Wir brauchen den Anstieg der Funktion f(x) an der Stelle -1, diesen Anstieg
ermitteln wir mithilfe der 1. Ableitung.

Anstieg $\begin{eqnarray*} m=f'(-1) \end{eqnarray*}$

Damit haben wir erst einmal nur den Anstieg berechnet, jetzt setzen wir einen
Punkt der Geraden ein(meist der Punkt an dem die Tangente f(x) berührt).
Bei dir ist aber schon gegeben das die Tangente durch den K.urpsrung geht.
Deshalb fällt bei der Geradengleichung das letzte Glied weg.

$\begin{eqnarray*} f'(x)=4e^x(-2x-x^2) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(-1)=4e^{-1}(2-1)=4e^{-1} \end{eqnarray*}$

Der Anstieg ist berechnet.

$\begin{eqnarray*} h(x)=4e^{-1}x+n \end{eqnarray*}$

NUn einen Punkt einsetzen, K.urpsrung ist (0|0), dadurch entsteht

$\begin{eqnarray*} 0=4e^{-1}*0+n \end{eqnarray*}$

Damit fällt n weg und die Geradengleichung lautet:

$\begin{eqnarray*} h(x)=4e^{-1}x \end{eqnarray*}$

05.12.2010, 18:33

table1table1

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RE: Meine GFS, Extrempunkte, Kurvenuntersuchung, brauche Hilfe :(
Vielen Dank smile

smile

Nun habe ich es verstanden smile

smile

Jetzt nur noch Aufgabe c.

Zitat:

Original von baphomet
Aufgabe c

Die beiden Funktionsgleichungen gleichsetzen und diese entstandene Gleichung
dann lösen

Welche Gleichungen meinst du jetzt?
Ich habe ja jetzt mehrere und eine in der aufgabe c gegeben.

Danke nochmals, du hast mir heute verdammt viel geholfen.
Wenn du etwas dafür haben willst bin ich dir dabei was zu geben (paypal oder so) als gute geste bzw. guter nachhilfe unterricht smile

smile

mfg table1

06.12.2010, 14:31

table1table1

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keine antwort mehr? unglücklich

unglücklich

06.12.2010, 14:33

baphomet

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Gleichsetzen der beiden Gleichungen:

$\begin{eqnarray*} -4x^2\cdot e^x=-x^2 \end{eqnarray*}$
Nun findet man die Triviallösung(Produkt wird Null wenn ein Faktor Null wird)
$\begin{eqnarray*} -3x^2\cdot e^x \end{eqnarray*}$

Den anderen Schnittpunkt berechnet man indem man nach dem Gleichsetzen beide
Seiten durch -x^2 dividiert und es entsteht folgende Gleichung:

$\begin{eqnarray*} 4e^x=1 \end{eqnarray*}$

Diese kann man nun per Logarithmus berechnen.

Zitat:

Wenn du etwas dafür haben willst bin ich dir dabei was zu geben (paypal oder so) als gute geste bzw. guter nachhilfe unterricht

Ist nicht notwendig, ich helfe gerne. Wenn du Skype hast kann ich dir sogar
Audiovisuell unter die Arme greifen, das ist manchmal noch besser

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