Problem mit integralrechnungs Aufgabe |
| 05.12.2010, 13:15 | !!KayOne!! | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Problem mit integralrechnungs Aufgabe Gegeben: f(x)=ax^2-a Aufgabe: Wie muss "a" gewählt werden, damit die Fläche zwischen der Kurve und den zwei Normalen in den Nullstellen möglichst klein wird? Meine Ideen: Ich hatte bereits die Idee wie follgt vorzugehen, bin mir aber nicht sicher, wie ich auf die zwei Normalen kommen kann? Kann mir jemand helfen oder auch meinen Lösungsansatz verbessern, im Falle, dass er Fehler enthält? 1.) Zwei Normalen herausfinden 2.) Integrieren 3.) Extremalwertaufgabe |
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| 05.12.2010, 13:29 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » |
Vorher solltest du die beiden Nullstellen berechnen (das ist sehr einfach). Dann berechnest du die Steigung (1. Ableitung) in diesen Nulstellen (auch kein Hexenwerk). Wenn du das hast, sind die Normalen fast geschenkt. Bei allem kannst du a ungleich 0 voraussetzen (warum ?) . Alles in allem ist dein Plan sinnvoll. Vergiss die Skizze nicht, das hilft beim Denken und Rechnen. |
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| 06.12.2010, 20:49 | !!KayOne!! | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für die Hilfe. Nur leider ist es mir nicht ganz klar wie ich auf die Nullstellen kommen kann. Die erste Ableitung macht man ja dann mit der gegebenen Formel und nimmt dann den Kehrwert der Steigung um die Normalengleichung zu erhalten. Könntest du mir nun erklähren, wie ich auf die Nullstellen kommen kann? Danke im voraus 
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| 06.12.2010, 20:54 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nullstellen berechnest du wie immer durch Gleichsetzen des Funktionsterms mit 0. Tipp: Ausklammern! |
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| 06.12.2010, 21:01 | !!KayOne!! | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist normalerweise auch nicht das Problem, da ich eigentlich wüsste, wie sich Nullstellen berechnen lassen, aber bei der gegebenen Gleichung: f(x)=ax^2-a, ist es mir nicht klar wie ich es machen muss, da "a" nicht definiert ist. Es wäre nett wenn du mir die Lösung schreiben könntest und mir erklären könntest, wie es bei der gegebenen Gleichung gemacht wird? Danke im Voraus
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| 06.12.2010, 21:04 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
a ist ein Parameter, also eine feststehende Zahl. Wie würdest du beim Lösen der folgenden Gleichung durch Ausklammern vorgehen? 2x²-2=0 Mit a ist es im Prinzip das gleiche. Lass dich von dem a nicht abschrecken, das ist einfach eine Zahl, die du nicht kennst. |
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| 06.12.2010, 21:29 | !!KayOne!! | Auf diesen Beitrag antworten » |
Ich würde wie folgt vorgehen: 0=2x^2-2 2=2x^2 2/2=x^2 1=x^2 1^1/2=x (Tut mir leid ich weiss nicht wie man Wurzel am Pc schriebt) :P Also bin ich hier richtig vorgegangen? Danke im Voraus! |
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| 06.12.2010, 22:05 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das ist richtig, jedoch hast du die negative Wurzel vergessen! Leichter geht es aber, wenn du ausklammerst: 2x²-2=0 <=> 2(x²-1) = 0. Dann kannst du nämlich die Gleichung durch 2 teilen und auf der rechten Seite bleibt trotzdem 0 stehen (0 durch irgendwas ist immer 0!) Also <=> x²-1 = 0 <=> x²=1 <=> x=-1 v x=1 (Negative Wurzel nicht vergessen!) Wenn du jetzt statt der 2 ein a hast, geht das ganz genauso. Bei Parametern immer versuchen, die auszuklammern und dann "wegzudividieren". Wenn das geht, bedeutet es, dass die Nullstellen unabhängig vom Parameter a sind (also für a=2, a=15 und a=3,471264826 sind die Nullstellen immer -1 und 1). Ausklammern geht bei der Nullstellenberechnung übrigens meistens am schnellsten. So, jetzt hast du die Nullstellen. Jetzt kannst du mit Elvis' Anleitung weitermachen. Beim Ableiten wird a übrigens genauso wie eine Zahl behandelt, also nicht abgeleitet, sondern als konstanter Faktor betrachtet. Wenn du Probleme damit hast, überleg dir einfach erstmal nochmal die Ableitung für ein bestimmtes a, zum Beispiel a=2. |
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| 07.12.2010, 20:22 | !!KayOne!! | Auf diesen Beitrag antworten » |
Danke für deine rasche Antwort! Nun habe ich mal weiter gerechnet und bin dann aber wieder auf ein Problem gestossen. Für die erste Tangente lautet die Gleichung dann: y=mx+b Wenn: y=0 m=f'(x)=2ax x=1 b=? 0=2a*1*1+b 0=2a+b Nun meine Frage wie komme ich auf "b"?? Danke im Voraus! |
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| 07.12.2010, 20:35 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
Betrachten wir mal die Tangente im Punkt (1|0). Wie du richtig sagst, ist die Ableitung f'(x) = 2ax. Die Ableitung f'(1) wäre somit wie groß (in Abhängigkeit von a)? Wir wollen aber die Normalengleichung. Denn die Tangente interessiert uns eigentlich nicht. Welche Steigung muss die Normale haben (sie steht senkrecht auf die Tangente --> Orthogonalitätskriterium)? |
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| 07.12.2010, 20:48 | !!KayOne!! | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine Normale ist ja orthogonal auf der Tangente also rechtwinklig. Somit muss die Steigung umgekehrt sein. Die erste Ableitung ist ja f'(x)=2ax => -2ax Damit lautet die GLeichung dann: 0=-2a*1*1+b 0=-2a*1*1+b 0=-2a+b Wie komme ich dann auf "b"?? |
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| 07.12.2010, 20:58 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
Das mit der Steigung ist nicht ganz richtig. Die Steigung der Normale ist der negative Kehrwert der Tangentensteigung. Du hast b gerade schon ausgerechnet! Du musst nur b auf die andere Seite der Gleichung bringen, dann hast du es. Noch ist der Wert aber wegen der falschen Steigung nicht ganz richtig. Allgemein: Einen bekannten Punkt (in diesem Falle (1|0)) in die Gleichung einsetzen und dann nach b umstellen. |
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| 07.12.2010, 21:02 | !!KayOne!! | Auf diesen Beitrag antworten » |
Den Punkt den wir kenne ist (1,0) und (-1,0). Aber wie komme ich auf die Steignung, denn die Tangentensteigung ist ja 2ax?? |
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| 07.12.2010, 21:08 | !!KayOne!! | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ist der die gleichung y=2ax*x+b umgeformt:b=y/2ax^2?? Nur habe ich wieder Schwierigkeiten mit dem "a" 
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| 07.12.2010, 21:08 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
Genau genommen ist die Steigung das, was vor dem x steht, also 2a. Jetzt bilde mal den negativen Kehrwert davon. Alternativ kannst du auch die Formel m (Tangente) * m (Normale) = -1 verwenden. In unserem Falle wäre das 2a * m = -1 Wie groß ist also m, wenn das die Steigung von der Normalen ist? |
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| 07.12.2010, 21:48 | !!KayOne!! | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wenn m die Steigung der Normalen ist dan isst das: m=-1/2a Ist das richtig?? Wenn ja dan hätten wir im dann: Danke im Voraus!
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| 07.12.2010, 21:52 | Seawave | Auf diesen Beitrag antworten » |
Richtig. Jetzt kannst du b ausrechnen, indem du die Werte von Punkt (1|0) einsetzt. Um die Normale in Punkt (-1|0) zu berechnen, gehst du nach dem gleichen Schema vor. Probier es doch einmal. |
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| 07.12.2010, 21:57 | !!KayOne!! | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also gibt das dann: Was dann weiter gibt: Daraus folgt: Richtig??
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