Summenzeichen, Induktion, Fibonacci

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Schmidder-DS Auf diesen Beitrag antworten »
Summenzeichen, Induktion, Fibonacci
Meine Frage:
hallo,
Ich hoffe, ich bin im richtigen Forum, da ich ehrlich gesagt, nicht mal weiß, in welchem Fachbereich der Mathematik ich mich befinde. Das Fach heißt einfach nur Diskrete Mathematik.
Zur Frage: Ich soll eine Aussage per Induktion beweisen:
(über dem Summezeichen soll es 2n heißen) -> Diese Aussage soll für alle n Element positiver natürlicher Zahlen gelten

Ich kann mit dieser Aussage aber rein gar nichts anfangen, da ich offenbar nicht mal das Summenzeichen richtig verstehe.
Wenn i=1, dann ist doch der gesamte linke Teil automatisch =0 oder wie muss ich das jetzt verstehen?
liebe Grüße

Meine Ideen:
kein eigener Ansatz soweit

Edit (Cel): LaTeX verbessert. Für Grenzen, die mehr als ein Zeichen lang sind, musst du geschweifte Klammern nutzen:

code:
1:
\sum\limits_{i=1}^{2n}
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo! Du bist im richtigen Forum. Diskrete Mathematik ist ein eigener Teilbereich der Mathematik, am ehesten hätte das Thema in das Forum Stochastik & Kombinatorik gepasst, aber wir können ruhig hier bleiben.

Zu deinem Ansatz, du hast nämlich einen: Es stimmt, wenn wir n=1 setzen, steht auf beiden Seiten eine 0. Links haben wir 0*1 und rechts 0². Unsere Induktionsvoraussetzung gilt also.

Wenn du schon mal Induktion mit Summen gemacht hast, dann weißt du, wie es weiter geht. Falls nicht - was müssen wir denn nun zeigen?
Schmidder-DS Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso haben wir dann rechts auch ein =0?

Das entzieht sich jetzt völlig meiner Kenntnis =(
Wenn ich n=1 setze, ergibt 2n folglich 2 (2*1)

Fib(2) sollte doch eigentlich 1 sein und damit 1²=1 gelten... oder wo stehe ich nun auf dem Schlauch?


Und als zweite Frage: Da i ja fest als i=1 definiert ist, bleibt doch die linke Seite immer =0, oder?

Eigentlich sollte ich als Student der Wirtschaftsinformatik damit umgehen können, aber an der Uni ist Mathe irgendwie mein persönliches Hassfach geworden (habs in der Schule geliebt) - daher stehe ich momentan so total auf'm Schlauch.

Viele Dank (auch für die Korrektur der Formel =))
und liebe Grüße
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ach, es ist wohl zu spät, ich hab innerlich 0 eingesetzt. n = 1, so war das. Nun, wenn wir das einsetzen, dann läuft die Summe links bis 2 (2*1). Schreiben wir mal die linke Seite aus:

fib(0) * fib(1) + fib(1) * fib(2). Was kommt denn da raus?

Rechts steht (fib(2))^2.

Kommt's jetzt hin? Ich denke schon. Augenzwinkern Ansonsten gilt meine Frage von oben weiterhin. Wie geht's weiter?

Aber nicht mehr heute. Ich komme morgen wieder! Wink

Edit: Noch mal, damit du nicht durcheinander kommst: Wir führen die Induktion nach n, nicht nach i.
Schmidder-DS Auf diesen Beitrag antworten »

so, mich hatte es zeitweilig in ein Krankenhaus verschlagen, doch jetzt bin ich wieder da und voller Elan (ich hasse Mathe...)^^

Ja, weitergekommen bin ich aber bisher trotzdem nicht :-(

Mein Induktionsanfang haut hin, aber der Induktionsschritt nicht.
Meine Vermutung ist, dass ich entweder Die Voraussetzung ODER die Behauptung falsch aufgestellt habe.

IV wäre ja, dass der Ganze summs da für n filt
IB wäre, dass alles für (n+1) gilt.

meine Induktionsvoraussetzung war jetz

fib(n-1) * fib(n) + fib (2n-1) * fib (2n) = ((fib(2n))^2

als Behauptung hatte ich

fib ((n+1)-1) *fib(n+1) + fib ((2n+1)-1) * fib (2n+1) = (fib (2nü1))^2
fib (n) * fib (n+1) + fib (2n) * fib (2n+1) = (fib (2nü1))^2

eines von beiden muss zwangsweise falsch sein, da ich nicht zu einem sinnvollen Ergebnis komme.
Cel Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe gerade auch ein wenig geknobelt und muss sagen, dass ich leider nicht ganz durchkomme. Ich guck mir das noch mal an, falls aber jemand weiß, wie man hier gut durch dein Beweis kommt, dann gebe ich den Schuss frei. Wink
 
 
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schmidder-DS
meine Induktionsvoraussetzung war jetz

fib(n-1) * fib(n) + fib (2n-1) * fib (2n) = ((fib(2n))^2

als Behauptung hatte ich

fib ((n+1)-1) *fib(n+1) + fib ((2n+1)-1) * fib (2n+1) = (fib (2nü1))^2
fib (n) * fib (n+1) + fib (2n) * fib (2n+1) = (fib (2nü1))^2

Irgendwas bringst du da durcheinander. unglücklich

Induktionsvoraussetzung ist ,
Induktionsbehauptung dann

Nachzuweisen im Induktionsschritt ist bei zwei neu hinzukommenden Summengliedern ( und ) also die Identität

,

was eigentlich kein größeres Problem darstellt, oder?


P.S.: Ich hab mal vereinfach statt verwendet, macht die Zeilen etwas kürzer. Augenzwinkern
Schmidder-DS Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich fragen darf:
Warum 2n+2?

ich dachte man beweist immer für n+1?

lg
Schmidder
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Schmidder-DS
ich dachte man beweist immer für n+1?

Genauso ist es, aber erschreckend naive Formulierungen dieser Art machen klar, dass wir wohl zurück zu den Grundlagen müssen, und das ganz, ganz langsam:

Zu beweisen ist Aussage



für alle . Will man dies durch Vollständige Induktion tun, dann ist im Induktionsanfang zu zeigen, und dann im Induktionsschritt die Implikation für alle . Will man letzteres tun, muss einem natürlich erstmal klar sein, was ist, dazu ist in jedes (!) Auftreten von durch zu ersetzen, konkret heißt das



bzw. wegen dann also

.

Und beim Übergang von einer Summe zu kommt eben nicht nur ein Summenglied neu hinzu, sondern deren zwei: Das für sowie das für .
Schmidder-DS Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, danke =)
Hatte die Klammer über dem Summzeichen übersehen und entsprechend nicht aufgelöst^^
Hoffentlich passiert mir das nicht in der Prüfung - sonst war's das mit der Karriere :-(
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