reeller Vektorraum

06.12.2010, 10:58

Theta

reeller Vektorraum

Meine Frage:
Hallo allerseits,
Hab hier ne Frage: Sei V ein reeller Vektorraum und $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \in V \end{eqnarray*}$ .
Zeigen Sie, dass die folgenden Vektoren linear abhängig sind:
$\begin{eqnarray*} v1 := a + b + c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v2 := 2a + 2b + 2c - d \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v3 := a - b - e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v4 := 5a + 6b - c + d + e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v5 := a - c + 3e \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v6 := a + b + d + e \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Nun erst mal wollte ich wissen, was der reelle Vektorraum ist (Vektorraum über $\begin{eqnarray*} \mathbb R , und V=\mathbb R^5 \end{eqnarray*}$ )?
Nun $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \end{eqnarray*}$ sind Komponenten der Vektoren $\begin{eqnarray*} v_1 bis v_6 \end{eqnarray*}$ , Warum steht in der Aufgabe $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \in V \end{eqnarray*}$ ?
Müsste das hier nicht heißen $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} v_1 bis v_6 \in V \end{eqnarray*}$ ?
Aber gut, kommen wir nun zu meinem Lösungsansatz. Da die Vektoren lin. abh. sind lassen sie sich darstellen als: Seien $\begin{eqnarray*} x_1 bis x_6 \in \mathbb R \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1*v_1=x_2*v_2+x_3*v_3+x_4*v_4+x_5*v_5+x_6*v_6 \end{eqnarray*}$ . Hier müssen wir geschickt sein, aber ich möchte erst mal erfahren, ob ich hier richtig liege.
Danke im Voraus

06.12.2010, 11:08

Mazze

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Zitat:

Warum steht in der Aufgabe $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e \in V \end{eqnarray*}$

Weil der Autor der Aufgabe diese 5 Vektoren mit a,b,c,d,e bezeichnet hat. Schlussendlich sind es nur Namen für 5 Vektoren. Er hätte sie genauso Karl,Dieter,Theodor,Susi, und Schnappi nennen können. Nur weil mein üblicherweise ein v Benutzt um einen Vektor zu bezeichnen, ist dass noch lange nicht der einzig mögliche Bezeichner.

a,b,c,d und e sind Vektoren, und aus diesen Vektoren werden die 6 Vektoren

$\begin{eqnarray*} v_1,...,v_6 \end{eqnarray*}$

konstruiert. Dein Ansatz ist aber ok.

Zitat:

was der reelle Vektorraum ist (Vektorraum über

Nein, V ist nicht der R^5 sondern ein allgemeiner Vektorraum. Es könnte zum Beispiel auch der Vektorraum der reellwertigen Funktionen sein.

06.12.2010, 11:09

wisili

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RE: reeller Vektorraum
«Komponente» wird in zweierlei Bedeutung angewendet:

1. «vektorielle Komponenten» einer Vektorsumme sind deren Summanden, also Vektoren.

2. «skalare Komponenten» sind Koeffizienten einer Linearkombination von Vektoren, besonders bei Basisvektoren, also Zahlen (bzw. Elemente des Skalaren-Körpers).

06.12.2010, 11:11

kiste

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Der Vektorraum ist nicht näher spezifiziert. Das kann alles sein. Ist aber auch egal wie der konkret aussieht, du kannst es allgemein rechnen. Es ist sowohl $\begin{eqnarray*} a,b,c,d,e\in V \end{eqnarray*}$ als auch $\begin{eqnarray*} v_1,\ldots, v_6 \in V \end{eqnarray*}$ .

Dein Ansatz ist ok, allerdings sehe ich keinen Grund warum du das v1 auf die andere Seite gestellt hast.
Man muss überhaupt nicht geschickt sein, das ist mal wieder ein typisches LGS.

07.12.2010, 19:54

ojemine

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RE: reeller Vektorraum
wenn wir die v1-v6 in eine matrix schreiben und n bischen umformen sodass wir danach nach x1-x6 auflösen können und für diese dann werte rausbekommen,

haben wir dann gezeigt dass die v1-v6 gegenseitig darstellbar sind und somit lin. abgängig sind, oder?

08.12.2010, 18:12

LoBi

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Ich kriege diese Aufgabe einfach nicht gelöst:
Ich kann entweder zeigen das ein Vektor von $\begin{eqnarray*} v_1 \end{eqnarray*}$ bis $\begin{eqnarray*} v_6 \end{eqnarray*}$ durch die restlichen kombiniert werden können. Oder das:
$\begin{eqnarray*} v=\lambda_1v_1+...+\lambda_6v_6 \end{eqnarray*}$ keine eindeutige Lösung hat. richtig ?

$\begin{eqnarray*} \lambda_1(a + b + c) +\lambda_2(2a +2 b + 2c-d) +\lambda_3(a- b -e) +\lambda_4(5a + 6b - c+d+e) +\lambda_5(a - c +3e) +\lambda_6(a + b +d+e) \end{eqnarray*}$

Ist dann meine Linearkombination, nur wie zeige ich jetzt das \lambda_1,...,\lambda_6
nicht eindeutig sind.
Bei einem \mathbb R^2 oder \mathbb R^3 VR ist das für mich kein Problem. Hier hakt's leider.

Gruß

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