Teilraum

06.12.2010, 14:43	Lentio	Auf diesen Beitrag antworten »
Teilraum Hallo! Komme leider bei diesen Aufaben nicht weiter . Tipps?! 1) Ist die Menge der antisymmetrischen reellen 2 × 2-Matrizen ein Teilraum des Vektorraums $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3,3} \end{eqnarray}$ ? Falls ja, dann gib eine Basis an und bestimme die Dimension dieses Teilraums. 2) Ist die Menge $\begin{eqnarray} M := {A \in C ^{3,3} \|AA = I^{3} } \end{eqnarray}$ ein Teilraum des Vektorraums $\begin{eqnarray} C^{3,3} \end{eqnarray}$ ? Wobei A die adjungierte Matrix von A bezeichnet. Falls ja, dann gib eine Basis an und bestimme die Dimension dieses Teilraums. zu 1) Überprüfung der Kriterien: nicht leer, z.b. $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 4 \\ -4 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ enthalten. abgeschlossen bzg Additon, denn: Seien A, B $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Menge der antisymmetrischen reellen 2 × 2-Matrizen mit $\begin{eqnarray} A=\begin{pmatrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} B= \begin{pmatrix} 0 & f \\ -f & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} A+B=\begin{pmatrix} 0+0 & b+f \\ -b-f & 0 +0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & (b +f) \\ -(b+f) & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Summe beider Matrizen in Menge der antisymmetrischen reellen 2 × 2-Matrizen. abgeschlossen bzg Multiplikation, denn: Sei A $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Menge der antisymmetrischen reellen 2 × 2-Matrizen, $\begin{eqnarray} \alpha \ in \mathbb R \end{eqnarray}$ , dann ist $\begin{eqnarray} \alphaA= \begin{pmatrix} \alpha0 &\alpha b \\ \alpha-b & \alpha0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 &\alpha* b \\-( \alphab) & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \alphaA \in \end{eqnarray}$ Menge der antisymmetrischen reellen 2 × 2-Matrizen Alle Kriterien erfüllt, Teilmenge ist somit Teilraum des $\begin{eqnarray} \mathbb R ^{3,3} \end{eqnarray}$ mit Basis $\begin{eqnarray} B=\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1& 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ . Nachweis Erzeugendensystem: $\begin{eqnarray} \alpha\begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -1& 0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 0 & b \\ -b& 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Komponentenvergleich führt zu $\begin{eqnarray} \alpha=b \end{eqnarray}$ , eindeutige Lösung, somit auch linear unabhängig. jede Matrix in D besitzt die Form $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & b \\ -b & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -b \\ b & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ , die als Linearkombination der Matrix $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ dargestellt werden kann $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ Dimension 1. zu2) Naja, also hier: kein Teilraum, da nicht abgeschlossen bzgl. Addition: Seien $\begin{eqnarray} A_{1}, A_{2} \end{eqnarray}$ in M, d.h. mit Eigenschaft $\begin{eqnarray} A\cdot B \end{eqnarray}$ = I, wobei B= komplex adjungierte= $\begin{eqnarray} A^{-1} \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} (A_{1}+ A_{2})B=I<br /> \Rightarrow A_{1} \cdot B + A_{2} \cdot B=I \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ I+I=I unwahre Aussage. Ich finde aber leider kein konkretes Beispiel dazu. denke nicht dass meine Beweisführung korrekt ist. mfg
06.12.2010, 16:01	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu Aufgabe 1) Meinst Du wirklich $\begin{eqnarray} \mathbb{R}^{3 \times 3} \end{eqnarray}$ ? Wenn ja , ist deine Ganze (richtige) Rechenarbeit für die Katz, denn 2 x 2 Matrizen sind ja nicht mal Elemente der Menge der 3 x3 Matrizen, wie sollen die denn dann einen Unterraum bilden? zu Aufgabe 2 : Dein Beweis ist so nicht richtig, denn Du nimmst an, dass B die adjungierte von sowohl A_1 als auch A_2 ist. Für ein Gegenbeispiel wähle 2 x 2 Matrizen. Denke möglichst einfach!
06.12.2010, 16:53	Lentio	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für die Antwort. das mit R^{3,3} war ein Tipfehler, müsste eigentlich R^{2,2} heißen. zu 2 ) hab jetzt als Gegenbeispiel: A, B in M, mit A $\begin{eqnarray} =\begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & i & 0 \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix} , B= \begin{pmatrix} i & 0 & 0 \\ 0 & -i & 0 \\ 0 & 0 & i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ A+B= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 2i & 0 & 0 \\ 0 & 0& 0 \\ 0 & 0 &2 i \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \Rightarrow \end{eqnarray}$ nicht invertierbar also kein Teilraum
07.12.2010, 09:52	Mazze	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das sind Gegenbeispiele. Ich hätte es einfacher gemacht $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = \begin{pmatrix} -1 & 0 \\ 0 & -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Man kann sogar noch trivialer herangehen in dem man 1 x 1 - Matrizen betrachtet A = 1 B = -1 dann ist A* = 1 und B* = -1 und AA* = 1 und BB* = 1, aber A + B = 0 => nicht invertierbar.
08.12.2010, 22:52	casanegra01	Auf diesen Beitrag antworten »
kann das sein das die Dimension 2 ist und nicht 1, da 2 linear unabhängige vektoren der antisymmetrischen 2x2 matrix, hab das nich so ganz verstanden warum die Dimension 1 sein soll

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