e-funktion Quotientenregel

06.12.2010, 15:26

TeddyBaer

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e-funktion Quotientenregel

Meine Frage:
Die folgende Funktion soll abgeleitet werden:

f(x) = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)

Meine Ideen:
Mein Ansatz:

Quotientenregel

f'(x) = (-e^x - e^x)*(e^-x + e^x) - (e^-x - e^x)* (-e^x + e^x) / (e^x + e^-x)²

Wie fasse ich das nun zusammen?

-(e^x)² - (e^x)² ... ??

ich komme leider nicht weiter.

06.12.2010, 15:28

baphomet

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RE: e-funktion Quotientenregel
Dein Ansatz ist korrekt nur has tdu glaube ich falsch abgeleitet.

$\begin{eqnarray*} u=e^x - e^{-x}<br /> u'=e^x+e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} v= e^x + e^{-x}<br /> v'=e^x-e^{-x} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} <br /> f'(x)=\frac{(e^x+e^{-x} ) ( e^x + e^{-x})-( e^x - e^{-x}) (e^x-e^{-x}) }{(e^x + e^{-x})^2} \end{eqnarray*}$

Das wird zu:

$\begin{eqnarray*} f'(x)=\frac{(e^x+e^{-x} )^2-( e^x - e^{-x})^2}{(e^x + e^{-x})^2} \end{eqnarray*}$

Das könnte man nochmals vereinfachen indem man den Bruch in eine Differenz
zerlegt.

06.12.2010, 15:41

TeddyBaer

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Dankeschön smile

smile

habe meinen Fehler erkannt.

Nun bekomme ich als Endergebnis heraus:

f'(x)= 1 - (e^x - e^-x)² / (e^x + e^-x)²

ist das so richtig?

06.12.2010, 15:44

baphomet

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JA, jetzt stimmts.

06.12.2010, 15:49

TeddyBaer

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nun muss ich die zweite Ableitung bilden.

die 1 fällt weg und nur der 2. Teil des Terms muss abgeleitet werden.
-> Quotientenregel.

wie leitet man denn (e^x - e^-x)² bzw. (e^x + e^-x)² ab?

ist das dann: 2* (e^x + e^-x) bzw. 2* (e^x - e^-x) ?

06.12.2010, 15:51

baphomet

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Diese Ausdrücke leitet man per Kettenregel, ist die im Unterricht schon
behandelt worden, falls nicht kann man es auch per Produktregel ableiten.

Im Endeffekt erhält man das gleiche Ergebnis, doch deins ist keinesfalls korrekt.

(

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06.12.2010, 15:57

TeddyBaer

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ich habe versucht die Kettenregel anzuwenden (für die Produktregel müsste man ja erst das Binom auflösen).

f(x) = (e^x - e^-x)²

f'(x) = 2* (e^x - e^-x) * (e^x + e^-x)

ist das so ok?
Sorry, aber ich mir mir da relativ unsicher.

06.12.2010, 15:59

baphomet

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Ja, das stimmt jetzt.

Du hättest das Binom nicht auflösen müssen, sondern einfach Differenzieren von

$\begin{eqnarray*} (e^x - e^{-x})(e^x - e^{-x}) \end{eqnarray*}$

Nun musst du nur noch den Nenner ableiten und alles einsetzen und du hast die
2. ABleitung.

06.12.2010, 16:21

corvus

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RE: e-funktion Quotientenregel

Zitat:

Original von TeddyBaer

Die folgende Funktion soll abgeleitet werden:

f(x) = (e^x - e^-x) / (e^x + e^-x)

ganz am Schluss, wenn du alles sorgfältig und mit Anleitung
von baphomet gerechnet hast, könntest du dir noch einen
kleinen Ausblick in eine Formelsammlung gönnen..

dort wirst du deine Funktion unter dem Stichwort
"hyperbolische Funktionen" wiederfinden als
f(x)= tanh(x)

und die zugehörende Ableitung ist dann verzeichnet als
f'(x) = (tanh x)' = 1 - [tanh(x)]² = 1 / [cosh(x)]² = [cosh(x)]^(-2)

und so kannst du dann auch leicht durch Ableiten wiederum
überprüfen, ob du die zweite Ableitung nun richtig gerechnet hast
es wird sein: f"(x) = ...

.

10.01.2011, 19:46

Adamklein

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und wie ist nun die zweite ableitung?

ich muss doch da quotienten- und kettenregel anwenden oder?

10.01.2011, 19:49

baphomet

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Man kann die Quotientenregel anwenden, Corvus zeigte einen einfacheren Weg,
nämlich Formelsammlung schauen und sehen das es eine Hyperbolische Funktion
ist. Es handelt sich um den Tangens Hyperbolicus. Die nötigen zwei Ableitungen
entnimmt man wiederrum der Formelsammlung oder berechnet diese auf klassischem
Wege.

10.01.2011, 20:18

Adamklein

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dass es der tangens hyperbolicus ist, hab ich festgestellt. die erste ableitung hab ich auch so hinbekommen und mit denen im internet verglichen. wie hier oben.

allerdings kann ich keine formelsammlung finden mit der 2. ableitung. kannst du mir da bitte weiterhelfen?

10.01.2011, 20:57

baphomet

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$\begin{eqnarray*} f(x)=\tanh(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=1-\tanh^2(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt $\begin{eqnarray*} \tanh^2x \end{eqnarray*}$ per Kettenregel ableiten:

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-2\tanh(x)(1-\tanh^2(x)) \end{eqnarray*}$

10.01.2011, 21:29

Adamklein

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ok vielen dank.

ist dieser rechenweg dann so richtig:
Kettenregel:
f(x)= g(h(x))

f(x)= ²
g(x)=tanh(x)

f '(x)=h'(x)*g'(h(x))

=2(-tanh(x))*(1-(-tanh²(x))
= -2tanh(x)*(1+tanh²(x)

und die dritte ist dann mit produktregel?

f'''(x)= -2(1-tanh(x))(1+tangh²(x)) + (-2(tanh(x))(-2(tanh(x))(1+tanh²(x))))

10.01.2011, 21:35

Adamklein

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ich muss damit eine kurvendiskussion durchführen.
ich weiß wie die funktion aussieht und nullstellen hab ich auch schon berechnet.

wenn ich jetzt mit diesen ableitungen rechnen möchte, muss ich dann für jedes tanh(x) die e-funktion einsetzen und dann immer den ganzen bruch quadrieren, wenn tanh²(x) steht?

10.01.2011, 21:44

baphomet

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Ich gebe dir Morgen die Hilfe zur Berechnung der dritten Ableitung, sag Bescheid
wann du Morgen hier bist.

Der Tangens Hyperbolicus ist als Quotient von Sinus Hyperbolicus und Kosinus Hyperbolicus definiert, wenn er also quadriert wird, wird der gesamte Bruch(Zähler und Nenner quadriert).

10.01.2011, 21:51

Adamklein

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na morgen muss ichs abgeben... egal, trotzdem vielen dank für deine hilfe Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.01.2011, 23:49

Adamklein

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ich hab jetzt alles zusammengefasst nachdem ich die 2. ableitung ausmultipliziert hatte und dann mit pordukt und kettenregel abgeleitet habe:

f'''(x)= -2+4tanh²(x)+6tanh^4(x)

stimmt das so?
bin morgen um 6 hier wahrscheinlich

danke schonmal

11.01.2011, 00:28

baphomet

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Um die dritte Ableitung zu berechnen benötigt man entweder die
Produktregel die du angewendet hast oder multipliziert einfach aus und wendet
die Summenregel und Kettenregel an.

$\begin{eqnarray*} f''(x)=-2\tanh(x)(1-\tanh^2(x))=-2(\tanh(x)+\tanh^3(x)) \end{eqnarray*}$

Nun lässt sich die Ableitung deutlich einfacher und schneller berechnen.

$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-2(1-\tanh^2(x))+6( \tanh^2(x)\cdot (1-\tanh^2(x)) ) \end{eqnarray*}$

Das ganze kann man noch zusammenfassen.

$\begin{eqnarray*} -2+2\tanh^2(x)+6\tanh^2(x)-6\tanh^4(x)=-6\tanh^4(x)+8\tanh^2(x)-2 \end{eqnarray*}$

Für Extrempunkte benötigen wir die erste Ableitung, also diese Null setzen und
lösen.

$\begin{eqnarray*} 0=1-\tanh^2(x) \end{eqnarray*}$

Die zweite Ableitung benötigen wir um die Art des Extremus festzustellen und
um Wendepunkte zu bestimmen. Letzteres geht wie folgt:

$\begin{eqnarray*} 0=-2\tanh(x)+2\tanh^3(x) \end{eqnarray*}$

Jetzt benutzen wir Substitution z=tanh(x) und es entsteht folgende
kubische Gleichung die zu lösen ist.

$\begin{eqnarray*} 0=2(z^3-z) \end{eqnarray*}$

Rücksubsitution nicht vergessen!!!

Danach 3. Ableitung benutzen.

11.01.2011, 17:58

Adamklein

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super!!! vielen lieben dank! hast mir sehr geholfen.

ich hatte die dritte ableitung ja fast richtig... Augenzwinkern

Augenzwinkern

11.01.2011, 18:00

baphomet

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Hoffe kam noch rechtzeitig smile

smile

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