Erwartungswert zweier abhängiger Variablen

06.12.2010, 16:47

Shortstop

Erwartungswert zweier abhängiger Variablen

Hallo Leute!

Ich plage mich momentan mit einer Aufgabe rum, die auf den ersten Blick recht simpel scheint.

Beim n-maligen Würfeln beschreibe X bzw. Y die Anzahl der gewürfelten Einsen bzw. Zweien.

Zu berechnen ist $\begin{eqnarray*} cov(X,Y) \end{eqnarray*}$ .

Dazu brauche ich ja $\begin{eqnarray*} E(XY) \end{eqnarray*}$ , und genau da liegt das Problem da X,Y abhängig sind.

Ich rechne also folgendermassen:

$\begin{eqnarray*} E(XY)= \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n ij P(X=i,Y=j) \end{eqnarray*}$

Und da hört es auch schon auf. Gibt es einen Weg diese Summe zu bestimmen?

06.12.2010, 16:57

René Gruber

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Zitat:

Original von kvnb
Gibt es einen Weg diese Summe zu bestimmen?

Ja: $\begin{eqnarray*} (X,Y,Z) \end{eqnarray*}$ unterliegt einer Multinomialverteilung, dabei ist $\begin{eqnarray*} Z=n-X-Y \end{eqnarray*}$ ergänzend einfach die Anzahl aller "Nicht-EinsOderZweien".

06.12.2010, 17:06

Shortstop

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ok, also ist

$\begin{eqnarray*} P(X=i,Y=j) = \frac{n!}{i!\cdot j! \cdot (n-i-j)!} \cdot (\frac{1}{6})^{i+j}\cdot (\frac{4}{6})^{n-i-j} \end{eqnarray*}$

Jetzt muss ich nur irgendwie die Summe bestimmen...ich schau mal Wink

06.12.2010, 17:21

Math1986

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Zitat:

Original von kvnb
ok, also ist

$\begin{eqnarray*} P(X=i,Y=j) = \frac{n!}{i!\cdot j! \cdot (n-i-j)!} \cdot (\frac{1}{6})^{i+j}\cdot (\frac{4}{6})^{n-i-j} \end{eqnarray*}$

Ist es nicht eher
Du könntest es vereinfachen zu
$\begin{eqnarray*} P(X=i,Y=j) = \frac{n!}{i!\cdot j! \cdot (n-i-j)!} \cdot\frac{4^{i+j}}{6^n} \end{eqnarray*}$

06.12.2010, 17:29

Shortstop

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Ok danke, jedoch finde ich keine Methode um die Doppelsumme zu lösen.
Auch mit dem Binomischen Lehrsatz komme ich nicht weiter... verwirrt

06.12.2010, 18:29

René Gruber

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Ich würde die Sache anders angehen, und zwar in $\begin{eqnarray*} n \end{eqnarray*}$ 0-1-Einzelversuche aufgeteilt, d.h.

$\begin{eqnarray*} X = \sum_{i=1}^n X_i,\quad Y = \sum_{i=1}^n Y_i \end{eqnarray*}$

mit Indikator-Zufallsvariablen $\begin{eqnarray*} X_i,Y_i \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} X_i=1 \end{eqnarray*}$ , falls 1 im i-ten Versuch fällt, analog $\begin{eqnarray*} Y_i=1 \end{eqnarray*}$ für die 2, sonst alles 0.

Dann sind die Vektoren $\begin{eqnarray*} (X_1,Y_1),\ldots, (X_n,Y_n) \end{eqnarray*}$ unabhängig und damit auch unkorreliert (nicht verwechseln mit der Abhängigkeit der Komponenten $\begin{eqnarray*} X_i,Y_i \end{eqnarray*}$ untereinander für gleiche $\begin{eqnarray*} i \end{eqnarray*}$ Augenzwinkern

). Damit gilt

$\begin{eqnarray*} \operatorname{cov}(X,Y) = \operatorname{cov}\left( \sum_{i=1}^n X_i, \sum_{j=1}^n Y_j \right) = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n \operatorname{cov}(X_i,Y_j) \stackrel{!}{=} \sum_{i=1}^n \operatorname{cov}(X_i,Y_i) \end{eqnarray*}$ ,

und letzteres ist nun sehr einfach ausrechenbar. smile

06.12.2010, 18:34

Shortstop

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Puh, auf sowas muss man erstmal kommen!

Wenn mans weiß kommt es einem so logisch vor...DANKE! Freude

06.12.2010, 18:55

René Gruber

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Wenn man das gleiche schon mal bei der Erwartungswert- bzw. Varianzberechnung der Binomialverteilung gesehen hat, dann ist die Parallele nicht mehr schwer.

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