Stammfunktion einer e-Funktion

07.12.2010, 13:51

Marali

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Stammfunktion einer e-Funktion

Meine Frage:
Ich bin gerade total am, verzweifeln.... kann mir vielleicht jemand erklären wie man das hier integrieren muss?

$\begin{eqnarray*} (4x+6)*e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Ich habe überhaupt keine ahnung wie das gehen soll, ich wüsste nur wie man es ableitet....

07.12.2010, 13:52

schultz

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erstmal ausmultiplizieren und dann beim ersten produkt partielle integration anwenden

07.12.2010, 14:03

lgrizu

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Zitat:

Original von schultz
erstmal ausmultiplizieren und dann beim ersten produkt partielle integration anwenden

Man muss nicht ausmultipliezieren, wozu auch, die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=4x+6 \end{eqnarray*}$ ist einmal differenzierbar, damit benötigt man auch nur einen Schritt mit partieller Integration.

07.12.2010, 14:35

Marali

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Verstehe das mit der partiellen Integration nicht unglücklich

unglücklich

Wie muss ich das hier anwenden? geschockt

geschockt

07.12.2010, 14:40

lgrizu

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Zunächst einmal bestimmst du eine Funktion, von der du die Stammfunktion bilden willst und eine, die du differenzieren willst, welche bieten sich denn hier wofür an?

Dann bestimmst du das Integral, das ist: $\begin{eqnarray*} \int \! f(x) \cdot g(x) \, dx = \left[F(x) \cdot g(x)\right]- \int \! F(x) \cdot g'(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , wobei F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.

07.12.2010, 16:24

Marali

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also dann wäre $\begin{eqnarray*} (4x+6) \end{eqnarray*}$ =f und $\begin{eqnarray*} e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$ = g

dann würde ich das so machen...
$\begin{eqnarray*} [(2x^2+6x)*e^{-0,5x}] \end{eqnarray*}$ - dann muss ich ja nochmal integrieren oder also ziehe ich $\begin{eqnarray*} [(2/3x^3+3x^2)*e^{-0,5x}] \end{eqnarray*}$ davon ab....

Wenn ich da jetzt aber Integrationsgrenzen definiere, zb. [0;-1,5] kommt als Flächeninhalt 0 raus.... da kann doch irgendwas nicht stimmen oder?? traurig

traurig

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07.12.2010, 17:11

Atomi

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Also ich kenne es so
$\begin{eqnarray*} (f(x)= u*v') = \left[u*v\right]_{b}^{a} - \int_a^b \! u'*v \, dx \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} u=4x + 6<br /> u'= 4<br /> v=-2*e^-0.5x<br /> v'=e^-0.5x \end{eqnarray*}$

das ganze einsetzten
das Integral rechts Integrieren
und ausrechnen

07.12.2010, 17:43

lgrizu

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@Atomi:
Das kommt beides so ziemlich aufs gleiche heraus.

@Marali:

Du solltest die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=4x+6 \end{eqnarray*}$ wählen um sie abzuleiten, denn e-Funktionen sind unendlich oft differenzierbar, die Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=4x+6 \end{eqnarray*}$ ist jedoch nur einmal diff.bar.

07.12.2010, 20:33

Marali

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kurze zwischenfrage... wo kommt die -2 her?

07.12.2010, 21:04

Atomi

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Wie die Formel der partiellen Integration besagt wird der 2te Term in der Funktion hier nun $\begin{eqnarray*} e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$ als abgeleitete Funktion angesehen also v'.

In den nächsten Schritt benötigen wir aber v also müssen wir die kleine Funktion $\begin{eqnarray*} e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$ integrieren

also $\begin{eqnarray*} f'(x)= e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$

wird zu $\begin{eqnarray*} f (x)= \frac{1}{-0.5}*e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$

und einfachheitshalber $\begin{eqnarray*} \frac{1}{-0.5} = -2 \end{eqnarray*}$

07.12.2010, 21:40

Marali

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es tut mir leid, ich bin etwas verwirrt.... die formel die igrizu angegeben hatte ist aber eine andere.... da komme ich auf jeden fall auf ein anderes ergebnis, denn da müsste ich die
$\begin{eqnarray*} e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$ doch gar nicht integrieren, oder bin ich jetzt total banane?

verwirrt

07.12.2010, 22:15

Atomi

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Doch müsstest du
Die Formel von Igizu ist praktisch die selbe wie meine

vlt nochmal zum verständiss zu meiner

wenn du nun deine funktion hast

$\begin{eqnarray*} (4x+6)*e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$

dann wird die $\begin{eqnarray*} 4x+6 \end{eqnarray*}$ als u angesehen und
die $\begin{eqnarray*} e^{-0.5x} \end{eqnarray*}$ als v'
wie schon beschrieben

dann setzt du alles in dieser Formel ein

$\begin{eqnarray*} \left[u*v\right]_{b}^{a}-\int_a^b \! u'*v \, dx \end{eqnarray*}$
^^

Und wie gesagt den rechten Teil nochmal Integrieren und dann alles einfach nur ausrechnen

07.12.2010, 22:30

Marali

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ok also dann würde ich das so machen
.... $\begin{eqnarray*} [(4x+6)*-2e^{-o,5x}] - [(4x+6)*4e^{-0,5x}] \end{eqnarray*}$

Wenn ich jetzt aber ein Intervall festlege zub [-1,5;0] dann sollte da eigentlich 5,87 rauskommen, ich bekomme aber 12 raus... was mache ich falsch ? unglücklich

unglücklich

07.12.2010, 22:46

Atomi

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Leider nicht q_q

Mach dir eine Tabelle wie ich weiter oben für die u und v teile

Und setzte sie dann nochmal ein und Integriere sie ^^

07.12.2010, 22:49

lgrizu

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Wir schauen uns dieses noch mal an:

Zitat:

Original von lgrizu

Dann bestimmst du das Integral, das ist: $\begin{eqnarray*} \int \! f(x) \cdot g(x) \, dx = \left[F(x) \cdot g(x)\right]- \int \! F(x) \cdot g'(x) \, dx \end{eqnarray*}$ , wobei F(x) eine Stammfunktion von f(x) ist.

Nun ist $\begin{eqnarray*} f(x)=e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g(x)=4x+6 \end{eqnarray*}$ .

Schaue auf die obige Formel, was ist zu bestimmen?

22.12.2010, 15:22

Hokeydo12

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Ergebniss richtig?
hey habe die aufgabe auch grad gerechnet und meine Lösung lautet:

$\begin{eqnarray*} e^{-0,5x} *(4x+10) \end{eqnarray*}$

kann das richtig sein?

gruß

22.12.2010, 15:28

lgrizu

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RE: Ergebniss richtig?
Nein, es ist nicht richtig.

Wie gesagt, schau dir noch mal die beiden Funktionen an, dann die Frage, von welcher Funktion du die Satmmfunktion bilden möchtest und welche du ableiten möchtets und dann muss man das ganze nur noch einsetzen.

22.12.2010, 16:02

Hokeydo12

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Und jetz? :-)
o.k. nun letzter Versuch dann geh ich in Weihnachtsferien Wink

Wink

habs nochmal nachgerechnet und einen Vorzeichenfehler entdeckt.

wie schauts aus mit $\begin{eqnarray*} e^{-0,5x} *(-8x-28) + C \end{eqnarray*}$

hab den ersten Teil mit $\begin{eqnarray*} (4x+6)*-2e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$

minus dem zweiten und noch zu integrierenden Teil! Der lautet dann noch $\begin{eqnarray*} \int_a^b \! -8e^{-0,5x} \, dx \end{eqnarray*}$ dass ergibt $\begin{eqnarray*} 16e^{-0,5x} \end{eqnarray*}$

ich würd dann noch ausklammern und am schluss ein C anhängen?!

Soweit jetz richtig? und wenn nein wo liegt der Fehler? Vom Prinzip hab ich verstanden. Es hapert evtl an Vorzeichen oder "es feid vom Boa weg" Hammer

Hammer

gruß

22.12.2010, 18:12

lgrizu

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Also haben wir: $\begin{eqnarray*} \int \!e^{-0,5x}(4x+6) \,dx =[-2 e^{-0,5x} \cdot (4x+6) ] - \int \! -2 e^{-0,5x} \cdot 4 \,dx=[-2 e^{-0,5x} \cdot (4x+6) ] - [16e^{-0,5x} ] \end{eqnarray*}$ Freude

Freude

22.12.2010, 20:01

Hokeydo12

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Merci
ja wunderbar... :-)

Danke für deine Zeit... Big Laugh

Big Laugh

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