Polynome - Abbildungen

07.12.2010, 18:01

ines89

Polynome - Abbildungen

Ist die lineare Abbildung p(t) -> p(t) +2p`(t) auf P2 (R) (bzw. P3 (R) eine invertierbare lineare Abbildung? Wie kann man das feststellen?

Brauche dringend eure Hilfe

07.12.2010, 18:14

system-agent

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Wähle doch eine Basis, stelle die zugehörige Matrix auf und überprüfe, dass diese invertierbar ist.

07.12.2010, 18:30

ines89

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i weiss nicht wie i das machen soll...was soll i wählen? invertiern kann ich...aber alles was ich bis dahin machen soll ...da kenn i mich net aus

07.12.2010, 18:36

system-agent

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Wie du eine Basis wählen kannst, das bist du eben hier am tun.

07.12.2010, 18:48

ines89

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??? bin bissi durcheinander

07.12.2010, 18:53

system-agent

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Aber ich werde dir sicher nicht einfach die Lösung hinschreiben, das wäre gegen das Boardprinzip, du musst schon selbst auch etwas tun.

07.12.2010, 18:54

ines89

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i will e was alleine machen...aber davor muss i was verstehen....weiss nicht oder verstehe nicht was ich zu tun hab und wie

08.12.2010, 16:22

ines89

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frage: wie soll ich eine basis wählen, bzw welche basis?

08.12.2010, 18:06

ines89

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i soll eine Basis wählen, die dann in matrixform schreiben, erweitertematrix bilden und inverse suchen,
oder kann i no vorher sehen ob sie invertierbar ist oder nicht?

08.12.2010, 18:28

system-agent

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Die meisten Leute würden die Standardbasis der beiden Polynomräume nutzen.

08.12.2010, 18:35

ines89

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standardbasis ist das die allgemeine formel oder?
at²+bt+c=p(t)???

08.12.2010, 20:10

system-agent

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Achte doch mal bitte darauf wie du dich ausdrückst, denn in der Mathe ist das sehr wichtig.

Die Standardbasis von $\begin{eqnarray*} P_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ ist gegeben durch die Vektoren $\begin{eqnarray*} 1,t,t^2 \end{eqnarray*}$ .

08.12.2010, 20:27

ines89

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asoooo i glaub i hab was gecheckt...
i muss dann eine "Tabelle" machen

................1 t t²
p(t)
2p`(t)

und dann krieg i eine Matrix raus, die muss ich in ZSF bringen und dann sehen ob es eindeutige Koeffizienten gibt oder nicht

hab ich das richtig verstanden?

09.12.2010, 11:42

system-agent

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Du sollst keine Tabellen machen, du sollst ganz einfach eine Matrix aufstellen. Wie das geht sollte im Skript stehen. Als Hinweis: Spalten = Bilder der Basisvektoren.

09.12.2010, 12:14

ines89

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wie soll ich eine Matrix aufstellen da ich nicht weiss was ich für p(t) wählen darf/kann....
wenn i das wüsste dann würde ich Matrix aufstellen können

09.12.2010, 12:44

system-agent

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Im Skript nachzuschauen sollte an einer Hochschule doch möglich sein.

Wie stellt man eine Matrix einer linearen Abbildung auf? Was steht in den Spalten? Und genau das tust du hier.
Übrigens: wenn du meinen letzten Beitrag liest, dann würdest du sehen, dass ich dir die Antwort schon gesagt habe.

09.12.2010, 12:48

ines89

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wir haben kein skriptum.deswegen hab ich nix wo ich nachschauen kann...und beispiele machen wie in d. Voresung auch net sondern nur Theorie

09.12.2010, 12:52

system-agent

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Schaue hier.

09.12.2010, 12:53

ines89

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Bilder der Basisvektoren schauen so aus, falls ich das richtig verstanden hab:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

da ich die Basis gewählt hab : (1,x,x²)
Bilder der Basisvektoren sind dan
1-->0, x-->, x²-->2x²

09.12.2010, 12:57

system-agent

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Dann hast du das wohl falsch verstanden.

Zunächst musst du die Basis mal ordentlich schreiben, denn da kommt es natürlich auf die Reihenfolge an, also zb. $\begin{eqnarray*} 1,t,t^2 \end{eqnarray*}$ .

Nennen wir die Abbildung mal $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} f: P_2(\mathbb R)\to P_2(\mathbb R) \end{eqnarray*}$ definiert durch $\begin{eqnarray*} p(t)\mapsto p(t)+2p'(t) \end{eqnarray*}$ .

Nun berechne $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(t) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(t^2) \end{eqnarray*}$ .

09.12.2010, 13:08

ines89

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hmmm
vlt so:
f(1)=0, f(t)=1, f(t²)=2t

09.12.2010, 14:23

system-agent

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Wieso fängst du schon wieder mit raten an?
Du sollst doch bloss die Abbildung anwenden.

Mal ein Beispiel:
Nehmen wir das Polynom $\begin{eqnarray*} 2010t^2-3 t+1 \end{eqnarray*}$ . Dann wäre $\begin{eqnarray*} f(2010t^2-3 t+1)=2010t^2-3 t+1+2(2\cdot2010t-3) \end{eqnarray*}$ ,
da die Ableitung des Polynoms gerade $\begin{eqnarray*} 2\cdot2010t-3 \end{eqnarray*}$ ist.
(i) Multipliziere das Resultat mal wirklich aus
(ii) Welche Koordinaten hat das Polynom $\begin{eqnarray*} 2010t^2-3 t+1 \end{eqnarray*}$ bzgl der gewählten Basis $\begin{eqnarray*} 1,t,t^2 \end{eqnarray*}$ ?
(iii) Welche Koordinaten hat also $\begin{eqnarray*} f(2010t^2-3 t+1) \end{eqnarray*}$ bzgl dieser Basis?

09.12.2010, 14:30

ines89

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(i)...wenn ich das ausmultipliziere kommt
f(2010t²-3t+1)=2010t²+8040t-14 raus
(ii)....Polynom hat die Koordinaten: 1-->1, t--> -3, t²-->2010
(iii).... gleiche Koordinaten wie ober...da die Bsisi 1,t,t² ist....

09.12.2010, 14:36

system-agent

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Zitat:

Original von ines89
(i)...wenn ich das ausmultipliziere kommt
f(2010t²-3t+1)=2010t²+8040t-14 raus

Da musst du dich irgendwie vertan haben, es sollte laut meinem Mathematica $\begin{eqnarray*} 2010t^2+8037t-5 \end{eqnarray*}$ herauskommen.

Zitat:

Original von ines89
(ii)....Polynom hat die Koordinaten: 1-->1, t--> -3, t²-->2010

Ja genau, also den Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} (1,-3,2010) \end{eqnarray*}$ . Und genau hier spielt die Reihenfolge der Basisvektoren eine Rolle. Hätte ich die Reihenfolge $\begin{eqnarray*} 1,t^2,t \end{eqnarray*}$ genommen, dann wäre der Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} (1,2010,-3) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Original von ines89
(iii).... gleiche Koordinaten wie ober...da die Bsisi 1,t,t² ist....

Nein. Also nochmal die Frage: Welchen Koordinatenvektor hat $\begin{eqnarray*} f(2010t²-3t+1)=2010t^2+8037t-5 \end{eqnarray*}$ ?

Aber egal, genau das musst du nun für jeden deiner Basisvektoren tun.
--> Koordinatenvektor aufstellen
--> Koordinatenvektor des Bildes aufstellen
--> Matrix aufstellen

09.12.2010, 14:40

ines89

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mein Problem ist das ich keine Zahlen hab und deswegen nicht weiss welche koordinaten sind,und wie ich eine Matrix aufstellen soll

09.12.2010, 14:44

system-agent

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Du hast doch gerade eben den Koordinatenvektor von einem Polynom bestimmt. Wieso solltest du das bei einem anderen dann nicht können? verwirrt

Ich habe dir jetzt 3 mal gesagt wie du die Matrix aufstellst, nun bist du dran.

09.12.2010, 14:50

ines89

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sorry kenn mich net aus...
Ich hab koordinaten bestimmt da die angegeben waren:
2010t²+8037t-5......
jetzt hab ich aber nur die angabe:
p(t)-->p(t)+2p`(t)
wie kann ich da jetzt die Koordinaten ablesen?

09.12.2010, 20:00

system-agent

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Sag mal liest du überhaupt was ich dir geschrieben habe?

Zitat:

Ich hab koordinaten bestimmt da die angegeben waren: 2010t²+8037t-5......

Nein, das was da noch steht ist ein Polynom und kein Koordinatenvektor. Dieser wäre hier $\begin{eqnarray*} (-5,8037,2010) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

jetzt hab ich aber nur die angabe: p(t)-->p(t)+2p`(t) wie kann ich da jetzt die Koordinaten ablesen?

Das ist keine Angabe, das ist die Funktionsvorschrift für die Abbildung deren Matrix zu aufstellen sollst.

Und wie du die Matrix aufstellst, das habe ich dir schon mehr als einmal gesagt:

Zitat:

Als Hinweis: Spalten = Bilder der Basisvektoren.

Und damit meine ich selbstverständlich die Koordinatenvektoren der Bilder des Basisvektoren.

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