Welche Mengen sind Unterräume des IR^3?

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teflon Auf diesen Beitrag antworten »
Welche Mengen sind Unterräume des IR^3?
Wenn man das Prinzip mal verstanden hat, ist das wahrscheinlich ganz simpel. Allerdings tu ich mich mit Vektorräumen, Unterräumen, Dimensionen, Basen etc. noch sehr schwer. unglücklich

Wir haben den Begriff Vektorraum folgendermaßen definiert:
"Sei V ein K-Vektorraum. Eine Teilmenge U von V heißt Untervektorraum von V , falls U mit den Verküpfungen von V ebenfalls ein K- Vektorraum ist."

Das Untervektorraumkriterium sieht wie folgt aus: "eine Teilmenge U eines K-Vektorraums V ist genau dann ein Untervektorraum von V, wenn:

(UVR1) und
(UVR2)

gelten." (1:1 übernommen aus unserem Skript)

Bei Wikipedia (und in eigentlich fast allen anderen Quellen die ich bzgl. (Unter-)Vektorräumen durchstöbert habe) widerum ist (UVR2) in zwei separate Bedingungen gesplittet - nun, sei es drum, ich hab so oder so nicht wirklich eine Idee was das für meine Aufgabe bedeutet und wie ich die Kriterien hier anwende. Es fehlt bisher einfach der "Aha-Effekt".

Aufgabe a) iv. zum Beispiel: ich weiß, dass ganze Zahlen sind - super, würde für mich jetzt eigentlich erstmal bedeuten, dass (UVR1) erfüllt ist, selbst wenn sind - das wäre dann der kleinstmögliche Untervektorraum, nämlich der Nullvektor. Aber sonst stehe ich auf nem ziemlich fetten Schlauch.traurig

Grüße und danke im voraus.

Edit: Link zu externem Bildhoster entfernt, bitte benutze die Forumsinterne Funktion um Dateien anzuhängen. LG Iorek
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Um zu zeigen dass die Menge nicht leer ist, zeigt man normalerweise dass der Nullvektor enthalten ist. Der Nullvektor muss nämlich sogar notwendigerweise enthalten sein, ansonsten kann es kein Unterraum sein (Warum?).

Fang also bei der ersten Menge an und überprüfe ob der Nullvektor in der Menge enthalten ist.
teflon Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Iorek
Um zu zeigen dass die Menge nicht leer ist, zeigt man normalerweise dass der Nullvektor enthalten ist. Der Nullvektor muss nämlich sogar notwendigerweise enthalten sein, ansonsten kann es kein Unterraum sein (Warum?).

Ich seh grad, dass zumindest der Nullvektor enthalten sein muss damit es ein UVR sein kann, steht auch schon so im Skript. Big Laugh

Zitat:
Original von Iorek
Fang also bei der ersten Menge an und überprüfe ob der Nullvektor in der Menge enthalten ist.

Naja, also da bei i., ii. und iii. ist, würde ich mal von ausgehen, dass alle den Nullvektor enthalten und somit für (UVR1) erfüllt ist.
Bliebe jeweils das zweite Kriterium zu überprüfen.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Bleiben wir erstmal bei der ersten Menge.

Wir haben also den Nullvektor in der Menge enthalten, also ist die Menge nicht leer, das erste Kriterium ist erfüllt.

Nimm dir jetzt zwei Elemente und überprüfe, ob dann auch liegt.
teflon Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, also für ist UVR1 erfüllt.

Um UVR2 zu überpfüfen, nehme ich und .

Dann wäre , was wiederum in liegt. Also ist UVR2 auch erfüllt und ist ein Unterraum von .

Muss jetzt leider erstmal weg, aber schonmal danke soweit.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, damit hättest du das lediglich für zwei konkrete Vektoren gezeigt, die allgemeine Abgeschlossenheit der Menge bzgl. der Addition (die wir hier überprüfen, die Abgeschlossenheit bzgl. der skalaren Multiplikation kommt noch) ist damit nicht gezeigt.

Nimm dir zwei Elemente und bilde davon die Summe. Liegt die Summe auch wieder in der Menge drin?
 
 
teflon Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also nochmal von vorne:


Die Bedingung ist erfüllt.


Bleibt zu zeigen, dass die Addition von Elementen des UR wieder im UR liegen und die dasselbe für die Multiplikation mit Skalaren gilt.

1. Addition: . Also


2. Multiplikation: . Also


verwirrt
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Es ist auch , also kannst du etwas über die Komponenten von sagen.

Die skalare Multiplikation sieht soweit gut aus, kannst du nun eine Aussage machen, ob gilt?
teflon Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, wenn , also , dann müsste ja sein.

Für die Multiplikation gilt, wenn und , dann ist auch .


Also Mathe-GK in der Schule hat mir wesentlich besser gefallen als der Mist hier. unglücklich
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von teflon
Naja, wenn , also , dann müsste ja sein.


Jetzt wirfst du den Vektor und die Einträge des Vektors durcheinander; , aber ist falsch, das sind die Einträge deines Vektors. Wenn gilt, welche Bedingung erfüllt der Vektor dann?


Zitat:
Original von teflon
Für die Multiplikation gilt, wenn und , dann ist auch .

Also Mathe-GK in der Schule hat mir wesentlich besser gefallen als der Mist hier. unglücklich


Das Skalar kommt nicht aus dem Vektorraum sondern aus dem zu Grunde liegenden Körper, wie oben wirfst du jetzt aber wieder Vektor und Einträge des Vektors durcheinander.

Warum ist denn aber nun , bisher hast du nur die Rechnung hingeschrieben, du musst noch begründen warum das wieder ein Element der Menge ist.

Und Mathe-GK (oder generell die Schulmathematik) ist nunmal nicht mit der Hochschulmathematik zu vergleichen.
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