Erzeugendensystem in R²

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18.11.2006, 21:01	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Erzeugendensystem in R² Hallo zusammen, wir nehmen grade das Erzeugendensystem durch und haben folgende Aufgabe gestellt bekommen : Gegeben seien Punkte $\begin{eqnarray} x,y \in \mathbb R^2 - 0 \end{eqnarray}$ , die nicht gemeinsam auf einer Geraden durch den Ursprung $\begin{eqnarray} 0 \in \mathbb R \end{eqnarray}$ liegen, d.h, $\begin{eqnarray} \alpha x \neq \beta y \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \alpha , \beta \in \mathbb R^ \end{eqnarray}$ . Zeigen sie, dass x,y bereits ein Erzeugendensystem von $\begin{eqnarray} \mathbb R² \end{eqnarray}$ bildet. Gilt eine entsprechende Aussage auch, wenn man $\begin{eqnarray} \mathbb R \end{eqnarray*}$ durch einen beliebigen Körper K ersetzt ? Nun eigentlich klingt die Aufgabe ja leicht aber irgendwie versteh ich nicht was ein Erzeugendensystem überhaupt ist. Wäre das z.b. diese 3 Vektoren? (100) +(010)+(001) da ich damit quasi alle Punkte im Raum erreiche ? Nunja alle überlegungen haben mich trotzdem nicht wirklich auf einen Ansatz zum lösen der Aufgabe gebracht. Hoffe einer von euch kann helfen. mfg Silver
18.11.2006, 23:34	kingskid	Auf diesen Beitrag antworten »
Hi Silver, also eine Menge M von Vektoren ist ein Erzeugendensystem eines Unterraums U, wenn jeder Vektor $\begin{eqnarray} u \in U \end{eqnarray}$ als Linearkombination des Vektoren aus der Menge M darstellbar ist. Eine Basis ist ein minimales Erzeugendensystem, also nur so viele Vektoren wie man wirklich braucht um den Unterraum aufzuspannen. du meinst wahrscheinlich die drei Einheitsvektoren? Sie sind ein Erzeugendensystem und eine Basis von R^3, genau, weil du alle vektoren aus R^3 in eindeutiger weise damit darstellen kannst. hoffe das hilft die ein bissle... viele grüße
19.11.2006, 12:47	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja zum Verständnis hat es beigetragen =) Weiß jedoch nicht wie ich die Aufgabe lösen soll ?! Kann mir jmd einen Ansatz zeigen ? mfg silver
19.11.2006, 20:24	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Keiner einde idee ? Also ich muss doch irgendwie mathematisch hinschreiben, dass weil $\begin{eqnarray} \alpha x \neq \beta y \end{eqnarray}$ ist ich ja so quasi jeden Punkt im $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ erreichen kann oder ? Ich weiß einfach nicht wie ich soetwas mathematisch aufschreiben kann
19.11.2006, 21:00	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Die Aufgabe ist fast gelöst. Zeige einfach das x und y linear unabhängig sind. Das heißt $\begin{eqnarray} \alpha\cdot x + \beta\cdot y = 0 \end{eqnarray}$ nur für $\begin{eqnarray} \alpha = \beta = 0 \end{eqnarray}$ . Dann folgt das x und y einen 2 dimensionalen Unterraum des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ aufspannen. Das kann dann aber nur der $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ selbst sein. Damit ist $\begin{eqnarray} \{x,y\} \end{eqnarray}$ ein Erzeugendensystem.
20.11.2006, 10:54	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja da ist mein Problem ich kann es nicht zeigen, ich weiß einfach nicht wie ich das aufschreiben soll.. Ich muss ja um die lineare unabhängigkeit zu zeigen irgendwie beweisen, dass $\begin{eqnarray} \alpha x \neq y \end{eqnarray}$ für alle $\begin{eqnarray} \alpha \neq 0 \end{eqnarray}$ . Aber wie beweise ich das ?
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20.11.2006, 12:25	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \alpha x \not = \beta y ~\Rightarrow ~ \alpha x - \beta y\not = 0 ~\Rightarrow ~ \alpha x + (- \beta) y\not = 0 \text{ mit } \alpha,\beta \in \mathbb R^ \end{eqnarray*}$ Also ..
20.11.2006, 16:16	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Also da $\begin{eqnarray} \alpha, \beta \end{eqnarray}$ beliebig sind und $\begin{eqnarray} \alpha x + (- \beta) y\not = 0 \end{eqnarray}$ ist folgt, dass $\begin{eqnarray} a \neq b \end{eqnarray}$ ist. Daraus folgt wiederrum, das a,b linear unabhängig sind und ein minimales Erzeugendensystem bilden ? Stimmt das soweit ?
20.11.2006, 16:20	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein. Das ist die Bedingung für lineare Unabhängigkeit: $\begin{eqnarray} \alpha x + \beta y = 0 ~\Rightarrow ~ \alpha = \beta = 0 \end{eqnarray}$ . Das hast du bis jetzt : $\begin{eqnarray} \alpha x + (- \beta) y\not = 0 \text{ mit } \alpha,\beta \in \mathbb R^ \end{eqnarray*}$ Ist nur noch ein kleiner Schritt
20.11.2006, 16:53	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Bin nun irgendwie durcheinander Habe probiert die Koeffizienten Alpha, Beta verschwinden zu lassen Also habe sie als 1 gewählt.... Jetzt muss ich irgendwie versuchen von $\begin{eqnarray} \alpha x + (- \beta) y\not = 0 \text{ mit } \alpha,\beta \in \mathbb R^ \end{eqnarray}$ auf $\begin{eqnarray} \alpha x + \beta y = 0 ~\Rightarrow ~ \alpha = \beta = 0 \end{eqnarray*}$ . kommen ? Hui also irgendwie hab ich grad nen Brett vorm Kopf
20.11.2006, 17:03	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok kein Problem. Wir untersuchen die Lösungen der Gleichung $\begin{eqnarray} \alpha x+ \beta y=0 \end{eqnarray}$ diesmal mit $\begin{eqnarray} \alpha,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} \alpha x + (- \beta) y\not = 0 \text{ für } \alpha,\beta \in \mathbb R^ \end{eqnarray}$ bleibt nur noch der Fall $\begin{eqnarray} \alpha = 0 \vee \beta = 0 \end{eqnarray}$ zu untersuchen. Sei also $\begin{eqnarray} \alpha = 0 \end{eqnarray}$ . $\begin{eqnarray} \Rightarrow ~ 0x+\beta y = 0 ~\Rightarrow ~\beta y = 0 \end{eqnarray}$ . Wegen $\begin{eqnarray} y \not = 0 \end{eqnarray}$ (nach Voraussetzung) folgt, das auch $\begin{eqnarray} \beta = 0 \end{eqnarray}$ . Es gilt also tatsächlich $\begin{eqnarray} \alpha x + \beta y = 0 ~\Rightarrow ~ \alpha = \beta = 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \alpha,\beta \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ . Jetzt klarer?
20.11.2006, 17:19	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Hoffe doch schon Also du hast gezeigt, dass $\begin{eqnarray} \alpha = \beta = 0 \end{eqnarray}$ Damit ist also bewiesen, dass x und y linear unabhängige Vektoren sind. Kann ich nun sagen, das L(x,y) ein Unterraum von R² bildet. Es ist also eine Basis und damit ein minimales Erzeugendensystem.
20.11.2006, 17:23	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, aber nicht irgendeinen Unterraum des R² sondern einen zweidimensionalen, d.h. L(x,y) = R². Die Argumentation hab ich oben schon irgendwo hingeschrieben.
20.11.2006, 17:44	SilverBullet	Auf diesen Beitrag antworten »
Alles klaro =) Erstmal vielen lieben DANK an dich Bleibt noch die Frage : Gilt eine entsprechende Aussage auch, wenn man R durch einen beliebigen Körper K ersetzt ? Eigentlich schon oder ? Es müssen halt nur genügend Vektoren gegeben sein oder ? Also $\begin{eqnarray} \alpha x + \beta y + ... + \zeta n = 0 ~\Rightarrow ~ \alpha = \beta =....= \zeta n= 0 \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} \alpha,\beta,....,\zeta \in \mathbb R \end{eqnarray}$ .
20.11.2006, 19:05	irre.flexiv	Auf diesen Beitrag antworten »
Da gibs keine Probleme. Bei dem Beweis wurden nur "Rechenregeln" verwendet die in jedem Vektorraum gelten, ob nun über einem endlich oder unendlichen Körper.
13.05.2007, 23:08	Cyraxx	Auf diesen Beitrag antworten »
moment irgendwas ist hier falsch. habe die selbe aufgabe gestellt bekommen. also alpha und beta können doch gar nich Null sein, da sie laut aufgabenstellung element der reellen zahlen OHNE null sind. oder lieg ich jetzt völlig daneben?? bitte um hilfe mfg cyraxx
13.05.2007, 23:26	Cyraxx	Auf diesen Beitrag antworten »
kann mir denn keiner helfen

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