Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)

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intel_p6612 Auf diesen Beitrag antworten »
Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)
Meine Frage:
An das im ersten Quadranten liegende Stück der Parabel mit der Gleichung y= 4- x² soll eine Tangente gezeichnet werden, die mit den beiden Koordinatenachsen ein Dreieck minimalen Flächeninhalts einschließt.


Meine Ideen:
y= mx + b

m = -2x da f(x)=4-x² -> f'(x)= -2x

y = -2x² + b

um b heraus zu bekommen: f(x) = t(x)
4-x² = -2x² + b
b = x² + 4

>> Also: y= -2x² + x² + 4

Zielfunktion: A(x)= a * b * (1/2)

Also, was muss ich jetzt machen nachdem ich y= -2x² + x² + 4 herausbekommen habe?

Danke für eure Unterstützung smile
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)
Dein Ansatz ist schonmal korrekt.

Geradengleichung:



sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)
Soll das hier: y= -2x² + x² + 4 die Gleichung der Tangente sein? verwirrt

Was du brauchst, sind die Koordinaten der Schnittpunkte der Tangente mit den Achsen, damit du den Flächeninhalt bestimmen kannst.
intel_p6612 Auf diesen Beitrag antworten »

Ersteinmal DANKE für die unglaublich schnelle Antworten!!

@baphomet: Tut mit leid, dass ich so unwissend bin, aber was soll ich jetzt damit machen?

@sulo: Nein, dass soll nicht die "endgültige" Tangentengleichung sein, sonst würd ich ja nicht fragen.... wenn ich ehrlich bin, weiß ich selber nicht was ich da ausgerechnet habe...

Nochmal danke für eure Hilfe. Es ist wirklich dringend....
baphomet Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst die Tangentengleichung anhand der Schnittpunkte mit den Achsen
aufstellen, hast du da irgendeinen Ansatz?

Du kannst anstatt der Punkt Steigunsform die Zweipunkteform verwenden.







Oder andere vielleicht bessere Möglichkeit stellt die Achsenabschnittsform dar.
intel_p6612 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich versuch es mal:

Schnittpunkte mit den Achsen würde ich sagen:

Einmal x=0 (für y-Achsenabschnitt) und einmal Nullstelle von der Funktion (für X-Abschnitt) ausrechnen?


Edit: Die Methode mit der Achsenabschittsform habe ich auch irgendwo im Internet gelesen, doch leider versteh ich es nicht wirklich....

Also (x/a) + (y/a) = 1 .... Was soll ich da jetzt genau machen?

DANKE !! smile
 
 
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Tja, scheint so, als hätte sich baphomet verkrümelt. verwirrt

Mein Ansatz ist ein anderer, aber wenn du willst, können wir drüber sprechen. smile
intel_p6612 Auf diesen Beitrag antworten »

Aufjedenfall !! smile

Danke
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Vorüberlegungen: Also, wir haben als Steigung für die Tangente am Berührpunkt mit der Funktion -2x.
Den Schnittpunkt mit der y-Achse kennen wir nicht, wir nennen ihn b.

Die Tangentengleichung lautet also: y = -2x + b.

Jetzt stelle dir das Ganze mal so vor:



Achtung: die 4 als b habe ich willkürlich gewählt, damit wir ein Modell haben.

Wir brauchen für die Fläche also die beiden Achsenschnittpunkte der Tangente y = -2x + b.

Überlege doch mal, wie die Koordinaten sind. Dazu musst du einmal x und einmal y = 0 setzen.


edit: Diese Überlegungen sind nocht nicht zielführend, siehe unten.
intel_p6612 Auf diesen Beitrag antworten »

"Überlege doch mal, wie die Koordinaten sind. Dazu musst du einmal x und einmal y = 0 setzen. "

>> Ich versuch's mal:

also y=0 :

0= -2x+b |+2x
2x = b

und x=0

y= -2 * 0 + b
y = b


Danke nochmal!!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
2x = b

Und somit x = (1/2)b

Dennoch sehe ich gerade nicht, wie man da eine Funktion mit erstellen kann, die man sinnvoll ableiten kann.

Irgendwie muss da noch die ursprüngliche Funktion f(x)= 4- x² mit ins Spiel kommen, da die Lage der Tangente (mit bekannter Steigung) ja nicht beliebig ist.

Da muss ich noch mal überlegen, oder hast du eine Idee?
intel_p6612 Auf diesen Beitrag antworten »

Leider nicht unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)
Also, ich habe nochmal nachgerechnet: Deine Gedanken am Anfang waren schon sehr richtig. Freude

Zitat:
y= mx + b

m = -2x da f(x)=4-x² -> f'(x)= -2x

y = -2x² + b

um b heraus zu bekommen: f(x) = t(x)
4-x² = -2x² + b
b = x² + 4


Das heißt, wir kennen schon das b. smile
intel_p6612 Auf diesen Beitrag antworten »

okay,... und was können wir jetzt mit diesem b machen?

Danke, dass du immer noch dabei bist Augenzwinkern
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Mit dem b und mit Hilfe der Achsenabschnittsform der linearen Funktion errechnen wir nun das a.

Wir haben ja: y= -2x² + x² + 4

Also: y + 2x² = x² + 4 | (x² + 4)



Das entspricht der Achsenabschnittsform

Und das a lässt sich somit errechnen. smile




edit: Ich packe mal die Grafik zur Lösung hierher, da ich nicht weiß, ob der Thread noch weitergeht oder nicht.

intel_p6612 Auf diesen Beitrag antworten »

Genau, da liegt das Problem ich weiß nicht wie man auf a kommt. Ich würde sagen a = x² + 4 , aber ich weiß dass es falsch ist.... unglücklich

Morgen Klausur... bitte schnell helfen!
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Das a stimmt nicht ganz.

Ich hatte gesagt:

Das entspricht der Achsenabschnittsform

Und somit gilt:



Durch Umstellen erhältst du dann , wobei x der unbekannte Schnittpunkt des Graphen mit der x-Achse ist.

Jetzt kann man also die Gleichung aufstellen, ableiten und x bestimmen. smile
intel_p6612 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn ich aber ganz normal nach a auflöse komme ich aber auf ein anderes Ergebnis.
Maaaaaaaaan, dass ist genau die Stelle die ich nicht versteh,... ich weiß nicht was ich falsch mache unglücklich
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Schreibe deine Rechnung doch mal auf. smile
intel_p6612 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay, ich hab es gelöst bekommen smile
Ich danke für eure Hilfe, der Dank geht besonders an Sulo Augenzwinkern
... Mach weiter so!!!! smile
Hoggar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)
Hallo,

ich weiß zwar, dass dieser Beitrag als geshlossen gilt, habe dennoch eine Frage.

Da wir herausgefunden haben, dass y=-2x^2+x^2+4 ist, was ja y=4-x^2 entspricht, wollte ich mal fragen, wie es sein kann, dass eine Tangente dieselbe Funktion haben kann, wie die Kurve aus der sie abgeleitet wird???
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)
Die Gleichung der Tangente war noch gar nicht genannt. Sie lautet:





Das habe ich aus meiner Zeichnung oben abgelesen. Leider ist die Aufgabe nicht vollständig gelöst worden.
Die Rechnung habe ich nicht mehr vorliegen und eigentlich möchte ich nicht alles nochmal errechnen...
Hoggar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)
Entschuldigung für das nachhaken, aber was genau ist dann y=-2x^2+x^2-4 für eine Gleichung???
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)
Ich kann das Ganze noch mal durchrechnen, allerdings erst in 2 Tagen, wenn ich genug Zeit habe.

Wenn du an der Aufgabe interessiert bist, könntest du auch deine Rechnungen reinstellen, denn unser Prinzip ist eigentlich nicht, fertige Lösungen für die Fragesteller aufzuschreiben. Augenzwinkern
Hoggar Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)
Ich möchter auch keine fertige Antwort. Ich mölchte erstmal nur wissen was die Gleichung y=.... besagt?
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Tangentendreieck (Extremwertaufgabe)
Ich werde es mal ein bisschen anders formulieren.

Die Steigung der Tangente an f(x) = 4 - x² an der Stelle x0 ist: m = -2x0

Die Tangentengleichung lautet also soweit an x0: t(x) = -2x0·x0 + b = -2x0² + b

Die Tangente t(x) berührt also f(x) an (x0|y0) und wir können gleichsetzen: 4 - x0² = -2x0² + b

Diese Gleichung lösen wir nach b auf und erhalten: b = x0² + 4

An (x0|y0) gilt also für die Tangente: y0 = -2x0² + (x0² + 4)
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