gerade und ungerade Funktionen

08.12.2010, 15:05

faulix

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gerade und ungerade Funktionen

Hallo,

folgende Aufgabe liegt vor:
R wird komplett auf R abgebildet und f(x) ist auf ganz R differenzierbar.

Zu zeigen ist, dass wenn
a) f(x) gerade ist, dann ist f'(x) ungerade und f'(x)=0.
b) f(x) ungerade ist, dann ist f'(x) gerade und f(x)=0.

Mein Lösungsansatz:
a)
f(x)=f(-x) => f(x) ist eine gerade Funktion
Dann leite ich beide Seiten ab.
f'(x)=f'(-x)*(-1) <=> -f'(x)=f'(-x) => f'(x) ist eine ungerade Funktion
Die letzte Bedingung zu zeigen ist etwas schwer für mich, bin mir da unsicher. Ich hätte jetzt geometrisch argumentiert, dass wenn f(x) auf ganz R differenzierbar sein soll und f(x) Achsensymmetrisch zur y-Achse ist, dann muss die Steigung im Punkt x=0 0 sein, da sonst f(x) nicht Achsensymmetrisch zur y-Achse wäre oder nicht im Punkt x=0 differenzierbar wäre.
b)
analog zu a)

Freue mich auf weitere Ideen und Feedback.

Grüße faulix

08.12.2010, 15:10

Helferlein

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Bist Du sicher, dass die Aufgabe so gestellt wurde?

Die "und"-Aussage würde bedeuten, dass beide Eigenschafte gelten müssen und das würde bedeuten, dass wir es stets mit konstanten Funktionen zu tun hätten, die die Unterscheidung gerade/ungerade überflüssig machen würde.

08.12.2010, 15:14

faulix

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Das verstehe ich nicht. Wieso müssen die konstant sein? Denn bei f(x)=x sowie bei f(x)=x*x sind nicht beide gerade, wobei bei beiden Funktionen f(0)=0 ist wobei nur bei der zweiten Funktion f'(x)=0 ist.

08.12.2010, 15:26

Helferlein

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Zitat:

Zu zeigen ist, dass wenn
a) f(x) gerade ist, dann ist f'(x) ungerade und f'(x)=0.
b) f(x) ungerade ist, dann ist f'(x) gerade und f(x)=0.

a) $\begin{eqnarray*} Aus \; f'(x)=0 \quad folgt \quad f(x)=c \end{eqnarray*}$
Wir hätten es hier also nur mit konstanten Funktionen zu tun.

b) $\begin{eqnarray*} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist eine (einzige) konstante Funktion

Ich vermute mal, es sollte $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(0)=0 \end{eqnarray*}$ heissen?

08.12.2010, 15:45

faulix

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Du hast recht, mein Fehler. Hier die Korrektur.

R wird komplett auf R abgebildet und f(x) ist auf ganz R differenzierbar.

Zu zeigen ist, dass wenn
a) f(x) gerade ist, dann ist f'(x) ungerade und f'(0)=0.
b) f(x) ungerade ist, dann ist f'(x) gerade und f(0)=0.

Nun ergibt vielleicht auch meine Argumentation mehr Sinn.

08.12.2010, 15:53

Helferlein

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OK, dann mal zu deinem Vorgehen:

Den ersten Teil hast Du ja schon richtig gemacht, für den zweiten Teil nutzt Du allerdings den Ansatz dann nicht mehr. Warum?
Überleg Dir mal, wie sich die Steigung einer Funktion in einem bestimmten Punkt berechnet und was Du dann aus der gegebenen Gleichung folgern kannst. Es geht vermutlich einfacher als Du denkst Augenzwinkern

Augenzwinkern

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08.12.2010, 16:08

faulix

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Also setze ich wieder folgendes an?

f(0)=f(-0)
f'(0)=f'(-0)*(-0)=0 => f'(0)=0

Einfach nur so?

08.12.2010, 16:41

Helferlein

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Nicht ganz. Du kannst ja nur Funktionen ableiten und nicht einen einzigen Wert.

Wenn Du aber $\begin{eqnarray*} f'(0)=0 \end{eqnarray*}$ beweisen willst, brauchst Du natürlich zunächst eine Aussage über $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ .

08.12.2010, 16:42

faulix

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Und wie kann ich dann eine Aussage treffen?

08.12.2010, 16:56

Helferlein

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Was weisst Du denn über $\begin{eqnarray*} f'(x) \end{eqnarray*}$ ? Und was folgt dann daraus für $\begin{eqnarray*} f'(0) \end{eqnarray*}$ ?

(Ich könnte genau so gut fragen, was Du über f(3) sagen kannst, wenn f(x)=5x+8 ist)

08.12.2010, 19:29

Kel56

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Weiß jemand weiter

09.12.2010, 16:57

cHilLz0Ne

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Ich weiß ja, dass f'(x) hier ungerade, will sagen Punktsymmetrisch zum Ursprung ist.

Kann ich deshalb sagen, dass f(0) =0 ist und durch die Punktsymmetrie auch f'(0)=0 gelten muss?

09.12.2010, 17:01

baphomet

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Warum so schwer machen, wenn f(x) eine Gerade Funktion ist, also nur höchste
Potenz betrachten dann gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2n} ,n\in\mathbb{N}<br /> <br /> f'(x)=2x^{2n-1} \end{eqnarray*}$

09.12.2010, 17:01

Helferlein

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@cHilLz0Ne

Das könntest Du nur, wenn ihr die beiden Aussagen für ungerade bzw. gerade Funktionen schon bewiesen habt.
Ansonsten musst Du schauen, welche Gleichungen eine (un)gerade Funktion erfüllt und was demnach für die Stelle x=0 gilt.

09.12.2010, 17:03

baphomet

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Per Induktion lässt sich das doch leicht zeigen mit den Bedingungen:

$\begin{eqnarray*} f(x)=x^{2n} ,n\in\mathbb{N} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)=2n\cdot x^{2n-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=2n\cdot (2n-1)x^{2n-2} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f^{2n-1}(x)=2n(2n-1)(2n-2)\ldots (1) x \end{eqnarray*}$

09.12.2010, 17:13

Helferlein

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@baphomed

Das klappt aber nur bei Polynomfunktionen.
$\begin{eqnarray*} f(x)=cos(x²) \end{eqnarray*}$ ist aber beispielsweise auch eine gerade Funktion (Definition zum Nachschlagen)

Hinzu kommt, dass Induktion aufwändiger ist, als der Weg, auf den ich hinaus will.

09.12.2010, 17:15

baphomet

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Mir ist bekannt das der Kosinus eine gerade Funktion ist wegen der Achsensymmetrie.
Klar du kannst den allgemeinen Weg zeigen, ist wahrscheinlich die bessere
Variante weil man sich nicht so sehr auf Polynome fixiert.

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