1 Gleichung, 3 unbekannte - Lösung?

08.12.2010, 15:39

blackdrake

1 Gleichung, 3 unbekannte - Lösung?

Hallo.

Ich möchte folgende Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{3-g}{1-g} - g + g^2 - 4 + 2w(\frac{b}{1-b} - b - b^2 - 1) \end{eqnarray*}$

mit den Bedingungen

$\begin{eqnarray*} b, g, w \in \mathbb R \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b, g, w \ge 0 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |b| < 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} |g| < 1 \end{eqnarray*}$

Gesucht sind alle möglichen $\begin{eqnarray*} (b, g, w) \end{eqnarray*}$ Tripel.

Es gibt leider keine weiteren Einschränkungen, sondern lediglich diese Formel, weswegen ich kein LGS anwenden kann.

Ich habe zunächst einmal versucht, mit einem (selbstgeschriebenen) Computerprogramm die Lösungen numerisch zu finden. Dafür habe ich für b, g, w die Zahlen 0,000 bis 0,999 eingesetzt und dann geprüft, ob die Gleichung exakt 0 ergibt.

Ergebnis:

Lösung 1:

$\begin{eqnarray*} (b=0;\;\;g=\frac{1}{2};\;\;w=\frac{3}{8}) \end{eqnarray*}$

Lösung 2:

$\begin{eqnarray*} (b=\frac{1}{2};\;\;g=\frac{1}{2};\;\;w=\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

=> Die Frage ist jetzt, ob dies alle Lösungen sind, oder ob bei der numerischen Berechnung (mit Präzision 0,001) ein paar Lösungen verloren gegangen sind. Gibt es einen mathematischen Weg, ALLE Lösungen zu ermitteln?

Gruß
blackdrake

// Edit: > in >= geändert
// EDit: Z in R geändert

08.12.2010, 17:27

Leopold

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Sollen jetzt $\begin{eqnarray*} b,g,w \in \mathbb{Z} \end{eqnarray*}$ sein oder nicht?

08.12.2010, 18:53

blackdrake

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Oh, entschuldige, da hab ich mich vertippt Hammer

Es sind relle Zahlen!

Gruß
blackdrake

08.12.2010, 23:26

blackdrake

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Hat jemand eine Idee, wie man die Gleichung lösen kann?

09.12.2010, 00:05

René Gruber

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Multipliziert man die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} (1-g)(1-b)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 0 = -(1-b)(g+1)(g^2-3g+1) + 2w(1-g)(b^3+b-1)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Wählt man nun z.B. für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die eine (nach ZWS existente) Lösung von $\begin{eqnarray*} b^3+b-1=0 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ sowie für $\begin{eqnarray*} g = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ , dann ist (*) erfüllt, egal wie groß $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist.

Das nur mal als kleine Demonstration, dass es schon noch ein "paar mehr" reelle Lösungen dieser Gleichung gibt. Augenzwinkern

09.12.2010, 18:33

blackdrake

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Zitat:

Original von René Gruber
Multipliziert man die Gleichung mit $\begin{eqnarray*} (1-g)(1-b)\neq 0 \end{eqnarray*}$ , so ergibt sich

$\begin{eqnarray*} 0 = -(1-b)(g+1)(g^2-3g+1) + 2w(1-g)(b^3+b-1)\qquad (*) \end{eqnarray*}$ .

Wählt man nun z.B. für $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ die eine (nach ZWS existente) Lösung von $\begin{eqnarray*} b^3+b-1=0 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ sowie für $\begin{eqnarray*} g = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ , dann ist (*) erfüllt, egal wie groß $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ ist.

Das nur mal als kleine Demonstration, dass es schon noch ein "paar mehr" reelle Lösungen dieser Gleichung gibt. Augenzwinkern

Hallo und vielen Dank für deine Antwort.

Ich sehe, dass du für "b" den Satz vom Nullprodukt anwedest, um den 2. Summanden und damit den Faktor w wegfallen zu lassen.

Allerdings weiß ich nicht, welche Lösungen es für $\begin{eqnarray*} b^3+b-1=0 \end{eqnarray*}$ gibt. Für die Polydiv brauche ich ja mindestens 1 Lösung, aber ich finde keine.

Und wie kommst du auf den Wert $\begin{eqnarray*} g = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Gibt es einen mathematischen Weg, ALLE Lösungen meiner Gleichung zu finden? Mit deinem Beispiel und meinen 2 gefundenen Lösungen gäbe es dann also schon 3 Tripel (das "belibige" w bezeichne ich einfach mal in dem Tripel als lamba). Aber wie viele Tripel (b,g,w) gibt es insgesamt? Und wie komme ich auf alle Lösungen?

Ich bin für weitere Hinweise und Lösungswege dankbar.

Gruß
blackdrake

09.12.2010, 22:24

blackdrake

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Für die Lösung von b:

Gemäß Cardanische Formel

$\begin{eqnarray*} b^3 + p \cdot b + q = 0 \end{eqnarray*}$

ist

$\begin{eqnarray*} p = 1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} q = -1 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D := (\frac{q}{2})^2 + (\frac{p}{3})^3 = \frac{1}{4} + \frac{1}{27} = \frac{31}{108} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} D > 0 \end{eqnarray*}$ : Es gibt genau 1 Lösung

$\begin{eqnarray*} u = \sqrt[3]{-(\frac{q}{2}) + \sqrt{D}} = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{D}} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} v = \sqrt[3]{-(\frac{q}{2}) - \sqrt{D}} = \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{D}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b = u + v = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} \end{eqnarray*}$ (Formel weiter vereinfachbar?)

Ergebnis $\begin{eqnarray*} b \approx 0,682327804 \end{eqnarray*}$ gemäß http://www.wolframalpha.com/input/?i=b^3%2Bb-1%3D0 korrekt.

Ich habe noch nicht getestet, ob deine dritte Lösung mit $\begin{eqnarray*} (b \approx 0,682327804;\;\;g \approx 0,381966011;\;\;w=\lambda) \end{eqnarray*}$ die Gleichung erfüllt. Werde ich später noch tun.

=> Ich suche immer noch nach allen möglichen Lösungen.

10.12.2010, 00:00

René Gruber

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Ich glaube, du hast noch nicht so richtig erfasst, dass es noch viel, viel mehr Lösungen gibt. Was ich oben erwähnt habe, ist eine Art Ausnahmefall. Der Standardfall sieht so aus:

Sei $\begin{eqnarray*} b^* \end{eqnarray*}$ diese Lösung von $\begin{eqnarray*} b^3+b-1=0 \end{eqnarray*}$ im Intervall $\begin{eqnarray*} (0,1) \end{eqnarray*}$ , d.h. $\begin{eqnarray*} b^* \approx 0.682327804 \end{eqnarray*}$ .

Für $\begin{eqnarray*} b\neq b^* \end{eqnarray*}$ kann man (*) schlicht umformen zu

$\begin{eqnarray*} w = \frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{2(1-g)(b^3+b-1)} \qquad (**) \end{eqnarray*}$ .

D.h., für alle deine $\begin{eqnarray*} 0\leq g<1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} 0\leq b<1,b\neq b^* \end{eqnarray*}$ erhältst du über (**) ein passendes reelles $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ , so dass die Ausgangsgleichung erfüllt ist!

Du musst lediglich noch untersuchen, für welche der $\begin{eqnarray*} b,g \end{eqnarray*}$ dieses $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ dann auch tatsächlich nichtnegativ ist (was du ja auch forderst).

10.12.2010, 00:28

blackdrake

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Vielen Dank :-) Ich hab so lange mit der Formel (bzw. auf die Formel hin) gearbeitet, dass ich überhaupt nicht gesehen habe, dass ich einfach nach w umstellen kann, um Tripel zu finden LOL Hammer

Das ist ja interessant, dass es also unendlich viele Lösungen gibt. (+ Der Sonderfall, bei dem w beliebig wegen dem Nullprodukt wird)

Ich werde mal untersuchen, welche (b,g) ich wählen muss, damit w positiv wird.

Gruß
blackdrake

10.12.2010, 00:50

blackdrake

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(Edit) Jetzt habe ich auch gesehen, dass $\begin{eqnarray*} g = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$ die Lösung der Gleichung $\begin{eqnarray*} (g^2-3g+1) \end{eqnarray*}$ mit der PQ-Formel ist - dem einzigen Faktor, bei der der vordere Summand durch dan Satz vom Nullprodukt Nullwerden kann.

Meine Lösung

Die Gleichung (**) hat $\begin{eqnarray*} w \ge 0 \end{eqnarray*}$ , wenn Zähler und Nenner $\begin{eqnarray*} \ge 0 \end{eqnarray*}$ sind, also

$\begin{eqnarray*} (1-b)(g+1)(g^2-3d+1) \ge 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} 2(1-g)(b^3+b-1) > 0 \end{eqnarray*}$

Folgende Faktoren bleiben immer positiv: $\begin{eqnarray*} 2 \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (1-g) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (1-b) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} (g+1) \end{eqnarray*}$

Daher muss gelten:

$\begin{eqnarray*} (g^2-3g+1) \ge 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} (b^3+b-1) > 0 \end{eqnarray*}$

Dann ist w mit (**) berechenbar, wenn für (b,g) gilt:

$\begin{eqnarray*} g \le g^* \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} b > b^* \end{eqnarray*}$

bzw. vollständige Definition

$\begin{eqnarray*} 0 \le g \le g^* < 1 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} 0 \le b^* < b < 1 \end{eqnarray*}$

mit

$\begin{eqnarray*} b^* = \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g^* = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \end{eqnarray*}$

:-)

Gruß
blackdrake

10.12.2010, 07:57

René Gruber

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Zitat:

Original von blackdrake
Die Gleichung (**) hat $\begin{eqnarray*} w \ge 0 \end{eqnarray*}$ , wenn Zähler und Nenner $\begin{eqnarray*} \ge 0 \end{eqnarray*}$ sind, also

$\begin{eqnarray*} (1-b)(g+1)(g^2-3g+1) \ge 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} 2(1-g)(b^3+b-1) > 0 \end{eqnarray*}$

... ODER aber im anderen Fall der Zähler nichtpositiv und der Nenner negativ sind:

$\begin{eqnarray*} (1-b)(g+1)(g^2-3g+1) \le 0 \end{eqnarray*}$ und

$\begin{eqnarray*} 2(1-g)(b^3+b-1) < 0 \end{eqnarray*}$ .

Auch in diesem Fall erhält man Lösungen - denk einfach mal an deine ersten gefundenen Lösungen

Zitat:

Original von blackdrake
Lösung 1:

$\begin{eqnarray*} (b=0;\;\;g=\frac{1}{2};\;\;w=\frac{3}{8}) \end{eqnarray*}$

Lösung 2:

$\begin{eqnarray*} (b=\frac{1}{2};\;\;g=\frac{1}{2};\;\;w=\frac{1}{2}) \end{eqnarray*}$

die fallen nämlich in diese zweite Kategorie. Augenzwinkern

10.12.2010, 22:52

blackdrake

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Hallo und vielen Dank für den Hinweis. Diesen Fall hatte ich vergessen.

Jetzt habe ich endlich die Lösung:

$\begin{eqnarray*} b > b^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \le g^* \end{eqnarray*}$ oder
$\begin{eqnarray*} b < b^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \ge g^* \end{eqnarray*}$ => Formel (**)
$\begin{eqnarray*} b = b^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g = g^* \end{eqnarray*}$ => w beliebig

Dies entspricht einer Bedingung eines selbstähnlichen Fraktals auf der 2D-Ebene.

Ich möchte nun die bereits gefundenen $\begin{eqnarray*} (b,g,w) \end{eqnarray*}$ Tripel zusätzlich auf die leicht veränderte Formel

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{1-g} - g - g^2 - 1 - w + bw(\frac{1}{1-b} - b - b^2 - 1) \qquad (***) \end{eqnarray*}$

loslassen und filtern. Diese Gleichung erfüllt eine Zusatzbedingung, die für den 3D-Raum notwendig ist.

Es gibt wohl mindestens 1 Lösung, nämlich $\begin{eqnarray*} (b^*, g^*, w^{**}) \end{eqnarray*}$ wobei $\begin{eqnarray*} (b^*, g^*, \lambda) \end{eqnarray*}$ ja bereits die Grundbedingung (**) erfüllt und $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ beliebig ist und somit so gewählt werden kann, dass auch die 3D-Zusatzbedingung (***) erfüllt ist.

Eventuell existieren auch noch weitere Lösungen, bei denen sowohl die Grundbedingung für den 2D-Raum (**) als auch die Zusatzbedingung für den 3D-Raum (***) erfüllt sind.

Ich würde jetzt mit der Gleichung (***) genau so vorgehen, wie du mit meiner ursprünglichen Formel und anschließend durch den Satz vom Nullprodukt die Stellen $\begin{eqnarray*} b^{**} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^{**} \end{eqnarray*}$ finden, und hoffen, dass einfach nach w umzustellen ist. (Leider kommt in (***) w zusätzlich als Summand vor).

Leider komme ich einfach nicht darauf, welche Rechenschritte du durchgeführt hast, um von

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{3-g}{1-g} - g + g^2 - 4 + 2w(\frac{b}{1-b} - b - b^2 - 1) \end{eqnarray*}$

auf

$\begin{eqnarray*} 0 = -(1-b)(g+1)(g^2-3g+1) + 2w(1-g)(b^3+b-1)\qquad (*) \end{eqnarray*}$

zu kommen. Wenn ich die besagte Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} (1-b)(1-g) \neq 0 \end{eqnarray*}$ durchführe, komme ich bis zu folgendem Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} 0 = -(1-b)(1-2g-2g^2+g^3) + 2w(1-g)(b^3) \qquad ? \end{eqnarray*}$

Gruß
blackdrake

11.12.2010, 10:05

René Gruber

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Der erste Summand ist soweit korrekt, aufgrund der Nullstelle $\begin{eqnarray*} g=-1 \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} g^3-2g^2-2g+1 = 0 \end{eqnarray*}$ kannst du durch eine passende Polynomdivision noch die Faktorisierung

$\begin{eqnarray*} g^3-2g^2-2g+1 = (g+1)(g^2-3g+1) \end{eqnarray*}$

erreichen, mehr passiert da nicht.

Im zweiten Summanden hast du dich jedoch verrechnet, es ist

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{b}{1-b} - b - b^2 - 1 \right) \cdot (1-b) = b - (1-b)(1+b+b^2) = b-(1-b^3) = b^3+b-1 \end{eqnarray*}$ ,

also nicht $\begin{eqnarray*} b^3 \end{eqnarray*}$ . Wahrscheinlich hast du

$\begin{eqnarray*} \left( \frac{1}{1-b} - b - b^2 - 1 \right)\cdot (1-b) = b^3 \end{eqnarray*}$

gerechnet, in dem Fall wäre es korrekt, aber es steht da nun mal $\begin{eqnarray*} \frac{b}{1-b} \end{eqnarray*}$ und nicht $\begin{eqnarray*} \frac{1}{1-b} \end{eqnarray*}$ . Augenzwinkern

11.12.2010, 19:53

blackdrake

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Hallo.

Vielen Dank für deine Antwort. Ja, GENAU das war mein Fehler smile

Ich konnte jetzt jeden Rechenschritt nachvollziehen.

Es geht nun also um die weitere Filterung von $\begin{eqnarray*} (b,g,w) \end{eqnarray*}$ mit der Zusatzbedingung:

$\begin{eqnarray*} 0 = \frac{1}{1-g} - g - g^2 - 1 - w + bw(\frac{1}{1-b} - b - b^2 - 1)\qquad (***) \end{eqnarray*}$

Dies konnte ich nun mit Multiplikation mit $\begin{eqnarray*} (1-g)(1-b) \neq 0 \end{eqnarray*}$ so vereinfachen:

$\begin{eqnarray*} 0 = (1-b)(g^3) - w\cdot(1-b)(1-g) + b^4w(1-g) \end{eqnarray*}$

Dadurch ergibt sich:

$\begin{eqnarray*} w_3(b,g) = \frac{g^3(1-b)}{(1-g)((1-b) + b^4)}\qquad (****) \end{eqnarray*}$

Für die Definition von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ kann der Teiler kann nie 0 werden.

Als nächstes würde ich das $\begin{eqnarray*} w_2 \end{eqnarray*}$ der "2D-Formel" (**) und das $\begin{eqnarray*} w_3 \end{eqnarray*}$ der "3D-Formel" (****) gleichstellen:

$\begin{eqnarray*} w_2(b,g) = \frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{2(1-g)(b^3+b-1)} = \frac{g^3(1-b)}{(1-g)((1-b) + b^4)} = w_3(b,g) \end{eqnarray*}$

Diese Formel definiert nun ein Tripel $\begin{eqnarray*} (b,g,w) \end{eqnarray*}$ für das sowohl (*) als auch (***) erfüllt ist. (Der Sonderfall für (*), bei dem w beliebig ist, ist noch nicht miteinbezogen! -- siehe [1])

Durch weitere Vereinfachung komme ich auf:

$\begin{eqnarray*} \frac{(g+1)(g^2-3g+1)}{b^3+b-1} = \frac{2g^3}{(1-b) + b^4} \end{eqnarray*}$

Diese Gleichung muss also erfüllt sein, um sowohl (**) als auch (****) zu erfüllen.

Kann man diese Gleichung noch weiter vereinfachen?

Gruß
blackdrake

---

[1] Zur Vollständigkeit:

Es wird noch der (2D) Sonderfall $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} (b^*, g^*, \lambda) \end{eqnarray*}$ bei dem $\begin{eqnarray*} w_2=\lambda \end{eqnarray*}$ beliebig ist, untersucht. Wie muss man $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ wählen, damit zusätzlich auch (***) erfüllt ist?

Einsetzen von $\begin{eqnarray*} b^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^* \end{eqnarray*}$ in $\begin{eqnarray*} w_3 \end{eqnarray*}$ (nicht in $\begin{eqnarray*} w_2 \end{eqnarray*}$ möglich, da Divison durch Null - deswegen ja ein Sonderfall):

$\begin{eqnarray*} w^* = \frac{{g^*}^3(1-b^*)}{(1-g^*)(1-b^* - {b^*}^4)} \end{eqnarray*}$

Einsetzen von $\begin{eqnarray*} b^* \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} g^* \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} w^* = \frac{ (3-\sqrt{5})^3 \cdot (1- \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} )}{8 \cdot (1- \frac{3-\sqrt{5}}{2} )\cdot(1- \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} - \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} - ( \sqrt[3]{\frac{1}{2} + \sqrt{\frac{31}{108}}} + \sqrt[3]{\frac{1}{2} - \sqrt{\frac{31}{108}}} )^4)} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b^* \approx 0.68232780382802 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g^* \approx 0.38196601125011 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} w^* \approx 0.28384587897853 \end{eqnarray*}$

=> $\begin{eqnarray*} (0,38...; 0,68...; 0,28...) \end{eqnarray*}$ ist eine zusätzliche Lösung, bei der sowohl (*) als auch (***) erfüllt ist.

[2] Mein "Notizblock" ist auf meinem Heimverzeichnis: http://beta.viathinksoft.de/~daniel-mars...n/rechnung2.dma . Dort sind meine Zwischenschritte ersichtlich.

12.12.2010, 19:46

blackdrake

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(Edit: Entfernt aufgrund eines großen Denkfehlers)

14.12.2010, 18:01

blackdrake

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Hallo,

Oh je, ich hatte einen riesigen Denkfehler in meinem letzten Post inklusive einen Rechenfehler am Anfang meiner Rechnung, der sich durchgezogen hat. Ich habe den Fehler nun ausgemerzt.

Ich kann nun folgendes festhalten:

Setze ich $\begin{eqnarray*} w_2(b,g) = w_3(b,g) \end{eqnarray*}$ , dann finde ich ein (b,g,w) das sowohl für (*) als auch für die optionale Zusatzbedingung (***) gilt - Voraussetzung, es existiert.

$\begin{eqnarray*} \frac{(1-b)(g+1)(g^2-3g+1)}{2(b^3+b-1)} = \frac{g^3(1-b)}{1-b - b^4} \end{eqnarray*}$

Damit ergibt sich folgende Bedingung für (b,g):

$\begin{eqnarray*} 0 = (g+1)(g^2-3g+1)(1-b - b^4) - 2g^3(b^3+b-1) \end{eqnarray*}$

Ist diese Bedingung erfüllt, dann gibt es ein w, für das gilt (b,g,w) erfüllt (*) und (***) .

Meine Frage diesbezüglich ist, ob es aus dieser Relation heraus, einen Weg gibt, die beiden Gleichungen der Form

$\begin{eqnarray*} f(g) = ...b \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(b) = ...g \end{eqnarray*}$

aufzustellen, sodass ich mithilfe eines frei gewählten b ein g (und dann das w) bzw. aus einem frei gewählten g ein b (und dann das w) finden kann.

Im Moment helfe bei dieser $\begin{eqnarray*} 0=...g...b \end{eqnarray*}$ Relation ja nur pures Durchprobieren von (b,g) Paaren.

Für einen Hinweis bin ich dankbar.

Gruß
blackdrake

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