Konvergenz Newton-Verfahren Beispiel

08.12.2010, 16:34	NecroPat	Auf diesen Beitrag antworten »
Konvergenz Newton-Verfahren Beispiel Hallo, ich muss mich zur Zeit in das Thema "Newton-Verfahren" einarbeiten, welches auch ohne Probleme vonstatten ging. Jedoch stoße ich bei dem Thema Konvergenz auf Probleme. Es gilt ja: $\begin{eqnarray} \|x_{n+1}-x\| \leq c \|x_{n}-x\|^p \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} p\geq1 \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} c>0 \end{eqnarray}$ . Doch leider weiß ich nicht, wie man davon auf die Konvergenz einer Funktion schließen soll. Könnte mir dies vielleicht jemand an einem Beispiel erklären, z.B an der Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^5-4 \end{eqnarray*}$ Habe mich schon durch einge Threads hier gearbeitet, jedoch schaffe ich es nicht, dies auf eine Funktion anzuwenden.
09.12.2010, 01:20	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Konvergenz Newton-Verfahren Beispiel Warum soll das (allgemein) gelten? Also p und c frei? Und was ist die eigentliche Aufgabe? Es handelt sich hier um eine einfache Nullstelle einer C(unendlich) Funktion. [WS] Eindimensionale Nullstellenprobleme 2 - Das Newton Verfahren
09.12.2010, 19:50	Cugu	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn man das Newtonverfahren z.B. mit $\begin{eqnarray} x_0=2 \end{eqnarray}$ startet, dann landet man bei $\begin{eqnarray} x \approx 1.319507910772894 \end{eqnarray}$ (die Nullstelle in der obigen Zeichnung). Für $\begin{eqnarray} \|x_n-x\| \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} n=0,...,5 \end{eqnarray}$ erhält man 0.463069483500671 0.109225021041697 0.011755997908938 0.000232935753538 0.000000119065973 0.000000000000033 Man kann hieraus vermuten, dass $\begin{eqnarray} p \end{eqnarray}$ gleich $\begin{eqnarray} 2 \end{eqnarray}$ ist, denn die Zahl der Nullen verdoppelt sich in jedem Schritt. $\begin{eqnarray} c \end{eqnarray}$ ist dann ungefähr $\begin{eqnarray} 1,5 \end{eqnarray}$ . Das entspricht beides der Theorie...

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