Summe aus ggT und kgV

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Mitch19XX Auf diesen Beitrag antworten »
Summe aus ggT und kgV
Meine Frage:
Zu Beweisen: Für a,b aus N gilt: a+b<= ggT(a,b)+kgV(a,b)

Anzugeben sind weiterhin eine notwendige und eine hinreichende Bedinung dafür, dass obige Ungleichung zu einer Gleichung wird.

Meine Ideen:
Mein Ansatz ist bisher: wenn d=ggt(a,b) dann gilt (a-d)(b-d)>=0 -> a>=d und b =>d e=kgV (a,b) => e=>a e=>b ->o.d.b.a. a<=b -> d<=a<=b<=e
-> a-b<=e-d

Zu Teil 2: hinreichend ist wenn a=b...aber notwendig?
Susi86 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Summe aus ggT und kgV
Klingt spannend,

ich setz mich mal ran...
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

@Mitch/Susi: Ist Dir nicht klar, dass Dein Versuch Deinen Thread schon nach wenigen Minuten zu pushen wirklich unglaublich kontraproduktiv ist? Jeder denkt beim Blick auf die Übersicht, dass hier schon ein Helfer geantwortet hat und wendet sich lieber anderen Threads zu. unglücklich

Zur Aufgabe:
Das Ergebnis a-b<=e-d wird Dir nichts bringen. Die Annahme, dass ist, ist schon mal ganz gut. Du könntest jetzt zum Beispiel eine Fallunterscheidung machen, ob a ein Teiler von b ist oder nicht. Damit sollte auch der zweite Teil zu machen sein.

Gruß,
Reksilat.
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Der Schlüssel zum Beweis ist die für alle positiven ganzen Zahlen geltende Identität

.

Setzt man , so ist nämlich "nur" noch



nachzuweisen, und das gilt sogar für alle reellen mit , speziell also auch für den wirklichen ggT.


EDIT: Ich sehe gerade, dass du was ähnliches hier

Zitat:
Original von Mitch19XX
Meine Ideen:
Mein Ansatz ist bisher: wenn d=ggt(a,b) dann gilt (a-d)(b-d)>=0 -> a>=d und b =>d e=kgV (a,b) => e=>a e=>b ->o.d.b.a. a<=b -> d<=a<=b<=e
-> a-b<=e-d

wohl schon gemacht hast - allerdings war das ganze schon sehr symbollastig in eine Zeile gequetscht, daher ist es bei mir nicht so richtig angekommen. Augenzwinkern
Mitch19XX Auf diesen Beitrag antworten »

Ok,

also Annahme, dass

1.) a=b, dann erhalte ich b+b<=b+(b²/b) <=> b<=b ok.

2.) Ist a<b, und a ein Teiler von b dann ist ggT(a,b)=a --> a+b<= a+ab/a=a+b

3.) a<b und a kein Teiler von b.....was mache ich an dieser Stelle??


Fall 1. ist hinreichende Bedingung
Fall 2.) ist notwendige Bedingung oder?
Reksilat Auf diesen Beitrag antworten »

Fall 1 ist in Fall 2 enthalten. Fall 2 liefert offensichtlich eine hinreichende Bedingung dafür, dass in der Ungleichung ein Gleichheitszeichen steht.

Im Fall 3 kannst Du ja mal das kgV mit b vergleichen. Es ist größer. Aber um wieviel ist es mindestens größer? Augenzwinkern
 
 
Mitch19XX Auf diesen Beitrag antworten »

...hm..

Kgv = ab/g also um ((a/g)*b)-b ist das größer oder?

Und dann..?
René Gruber Auf diesen Beitrag antworten »

Ich muss mal ganz dumm fragen: Hast du das

Zitat:
Original von René Gruber
Mein Ansatz ist bisher: wenn d=ggt(a,b) dann gilt (a-d)(b-d)>=0 -> [...]

nur abgeschrieben, ohne es zu verstehen? Denn das ist doch schon der Ansatz, der umgeformt zum gewünschten a+b <= d + ab/d führt! Und wenn du den verstanden hast, dann sollten eigentlich gar keine Fragen zum Beweis mehr bestehen - ich bin mehr als verwirrt. verwirrt
Mitch19XX Auf diesen Beitrag antworten »

Hey René,

(a-d)(b-d)>= 0 , denn wenn d=ggt is dann is a>=d und b>=d damit sind die beiden Faktoren >=0 und damit das Produkt auch.

Steh nur i-wie aufm Schlauch. verwirrt
Mitch19XX Auf diesen Beitrag antworten »

Oh, ich glaub ich habs...werds später mal posten...muss mal eben weg.
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