Körper im R^n mit Addition/Multiplikation komponentenweise

09.12.2010, 14:13

blingbang

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Körper im R^n mit Addition/Multiplikation komponentenweise

Auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} n\geq 2 \end{eqnarray*}$ soll Addition und Multiplikation komponentenweise erfolgen.
Also $\begin{eqnarray*} x\oplus y \end{eqnarray*}$ = (x1+y1,...,xn+yn) und $\begin{eqnarray*} x\otimes y \end{eqnarray*}$ = (x1*y1,...,xn*yn).
Welche Körpereigenschaften erfüllt $\begin{eqnarray*} (\mathbb R^n,\oplus ,\otimes ) \end{eqnarray*}$ und welche nicht?

Müssen hier "einfach" alle Körperaxiome geprüft werden?
Also z.B. (x1+y1,...,xn+yn)=(y1+x1,...,yn+xn) ?
Oder tauchen da andere Schwierigkeiten auf?
Das Eins- und Nullelement könnte ggf. interessant werden.

09.12.2010, 14:17

lgrizu

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RE: Körper im R^n mit Addition/Multiplikation komponentenweise
Eins- und Nullelement wirst du schnell finden, das wirklich Interessante ist meines Erachtens die Nullteilerfreiheit Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.12.2010, 14:19

system-agent

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Ja, du musst überprüfen welche Körperaxiome gelten.
Da du sicher schon weisst, dass $\begin{eqnarray*} \mathbb R^n \end{eqnarray*}$ mit dieser Addition [und der Skalarmultiplikation die man hier aber nicht braucht] ein Vektorraum bildet, kannst du dir einige der Körperaxiome sparen und das Nullelement sollte auch schon klar sein.

Im Wesentlichen geht es also darum zu zeigen oder zu widerlegen, dass die so definierte Multiplikation eine abelsche Gruppe bildet.

Danach kannst du noch die Distributivitätsforderungen überprüfen.

Edit: leicht zu spät Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

09.12.2010, 16:28

Kathi11

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Hey

smile

Genau die Aufgabe hab ich grad auch zu lösen, nur bin ich mir über eins nicht ganz klar... ich hab jetzt die körperaxiome einen nach dem anderen überprüft, nur hab ich zu (M3) 1*x = x eine frage:
Wenn ich die multiplikation jetzt im körper durchführe, ist 1*x dann = (1*x1,...,n*xn) oder (1*x1,...,1*xn), also werden die gewöhnlichen zahlen auch hochgezählt wie x=(x1,x2,...,xn) oder bleiben sie einfach immer 1?
danke schon mal smile

smile

09.12.2010, 18:35

lgrizu

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Überprüfe das multiplikativ neutrale, es ist $\begin{eqnarray*} 1 \cdot x=x \end{eqnarray*}$ , die Komponentenweise multiplikation sollte dich dann darauf führen, dass $\begin{eqnarray*} (1,1,1,....,1) \cdot (x_1,x_2,x_3,....,x_n)=(x_1,x_2,x_3,....,x_n) \end{eqnarray*}$ ist.

Wenn du alle Körperaxiome überprüft hast, wie ist denn dein Fazit, handelt es sich um einen Körper oder nicht?

09.12.2010, 18:43

Kathi11

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vielen lieben dank smile

smile

nun ja, mein ergebnis verwirrt mich irgendwie xP
also die aufgabenstellung war: "Welche körpereigenschaften hat R^n, welche nicht?"
und ich komm jetzt irgendwie darauf, dass alle stimmen, also das es sich um einen körper handelt... >.<
ob ich da jetzt irgendwo n fehler eingebaut hab? oder ob die aufgabenstellung nur verwirren soll? :O
also mein ergebnis ist jedenfalls, es ist ein körper x)

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09.12.2010, 19:46

blingbang

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Mir mag auch nicht so recht einfallen, warum es sich nicht um einen Körper handelt bzw. wieso dieser Vektorraum keinen Körper darstellen soll.

Neutrales Element der Addition ist $\begin{eqnarray*} (0,0,...,0) \end{eqnarray*}$ , der Multiplikation $\begin{eqnarray*} (1,1,...,1) \end{eqnarray*}$

Inverses Element der Addition ist $\begin{eqnarray*} (- x_1,...,- x_n) \end{eqnarray*}$ , der Multiplikation $\begin{eqnarray*} (\frac{1}{x_1},...,\frac{1}{x_n}) \end{eqnarray*}$

Oder ist etwas anderes gemeint?

09.12.2010, 20:33

lgrizu

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Okay, wir betrachten die beiden Elemente $\begin{eqnarray*} (0,1,1,....,1) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (1,0,0,....,0) \end{eqnarray*}$ und multiplizieren sie, was kommt heraus?

09.12.2010, 20:38

blingbang

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$\begin{eqnarray*} (0,...,0) \end{eqnarray*}$
Was sagt uns das?

09.12.2010, 20:58

lgrizu

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Sagt euch der Begriff "Nullteilerfrei" etwas?

Was hat es mit diesem Begriff auf sich?

Welches ist das Nullelement in eurem "Körper" ?

09.12.2010, 21:11

blingbang

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Nullelement wäre $\begin{eqnarray*} (0,..,0) \end{eqnarray*}$ .

Und da du mind. ein weiteres präsentiert hast das $\begin{eqnarray*} \neq (0,..,0) \end{eqnarray*}$ , ist es nicht Nullteilerfrei? Also kein Körper? verwirrt

verwirrt

09.12.2010, 21:15

lgrizu

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Genau, denn Nullteilerfreiheit bedeutet ja: $\begin{eqnarray*} a \cdot b=0 \Rightarrow a=0 ~oder~b=0 \end{eqnarray*}$ .

Wir haben das Nullelement $\begin{eqnarray*} (0,0,...,0) \end{eqnarray*}$ und die Elemente $\begin{eqnarray*} a=(0,1,1,....,1);~b=(1,0,0,....0) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} a \neq 0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \neq 0 \end{eqnarray*}$ aber mit $\begin{eqnarray*} a \cdot b=0 \end{eqnarray*}$ .

Das verstößt gegen die Nullteilerfreiheit, die für Körper gefordert wird.

Also kein Körper.

Ich verweise noch mal auf meine erste Antwort in diesem Thread:

Zitat:

Original von lgrizu
Eins- und Nullelement wirst du schnell finden, das wirklich Interessante ist meines Erachtens die Nullteilerfreiheit Augenzwinkern

Augenzwinkern

09.12.2010, 21:39

blingbang

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Zitat:

Original von lgrizu
Ich verweise noch mal auf meine erste Antwort in diesem Thread:

Zitat:

Original von lgrizu
Eins- und Nullelement wirst du schnell finden, das wirklich Interessante ist meines Erachtens die Nullteilerfreiheit Augenzwinkern

Augenzwinkern

Gott

Recht hast du. Alle anderen Axiome gelten aber als erfüllt, richtig?

Auf alle Fälle vielen Dank!

09.12.2010, 21:42

lgrizu

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Jap, ansonsten sind alle Körperaxiome erfüllt.

17.08.2011, 15:10

hackfleischberg

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Zitat:

Jap, ansonsten sind alle Körperaxiome erfüllt.

Vllt dumme Frage, aber was ist das Inverse von (1,0)?
Die Nullteilerfreiheit ist doch kein Körperaxiom, sondern folgt aus denen, oder nicht?

Im Körper gilt ja a*b=0 mit a ungleich 0 folgt:
0 = a^(-1) * 0 = a^(-1) * (a*b) = (a^(-1) * a) * b = b
also nullteilerfrei.

Da das nicht nullteilerfrei ist muss dann doch auch eines der Axiome nicht erfüllt sein, in dem Fall die Existenz der Inversen Elemente, oder nicht?

23.08.2011, 10:00

lgrizu

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Ja, das stimmt, in einem Ring ist ein Nullteiler niemals eine Einheit, also hat ein Nullteiler kein multiplikativ Inverses, die Aussagen (0,0,..,1) ist Nullteiler ist also äquivalent zu der Aussage, das dieses Element kein multiplikativ Inverses besitzt.

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