Parabel 2. Ordnung durch 2 Punkte und 2 Steigungen bestimmen

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19.11.2006, 12:49

Katzenstreu

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Parabel 2. Ordnung durch 2 Punkte und 2 Steigungen bestimmen

Hallo

,

ich habe da mal wieder eine Frage Hammer

.

Einen Lösungsansatz für Aufgabe 2a habe ich bereits:

$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f''(x)=-sin(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f'''(x)=-cos(x) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} g(x)=? \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(x)=? \end{eqnarray*}$

Bedingungen:
Steigung im Punkt 1: $\begin{eqnarray*} f'(0)=cos(0)=1=g'(0) \end{eqnarray*}$
Steigung im Punkt 2: $\begin{eqnarray*} f'(\pi)=cos(\pi)=-1=g'(\pi) \end{eqnarray*}$

Punkt 1: $\begin{eqnarray*} f(0)=sin(0)=0=g(0) \end{eqnarray*}$
Punkt 2: $\begin{eqnarray*} f(\pi)=sin(\pi)=0=g(\pi) \end{eqnarray*}$

Wie kann man nun die quadratische Parabel rechnerisch bestimmen?

Und zu guter letzt der Aufgabenzettel:

http://feddern.org/tim/temp/mathe001.jpg

Grüße
Tim smile

19.11.2006, 13:35

klarsoweit

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RE: Parabel 2. Ordnung durch 2 Punkte und 2 Steigungen bestimmen

Zitat:

Original von Katzenstreu
Wie kann man nun die quadratische Parabel rechnerisch bestimmen?

Indem du eine Parabel 2. ordnung allgemein aufstellst und die Bedingungen einsetzt. Du bekommst dann Gleichungen für die Koeffizienten. Übrigens eine der Steigungsbedingungen ist obsolet, da die Parabel diese aufgrund von Symmetrien automatisch erfüllt.

19.11.2006, 13:45

Katzenstreu

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RE: Parabel 2. Ordnung durch 2 Punkte und 2 Steigungen bestimmen
Hallo KlarSoweit Augenzwinkern

.

Deinen zweiten Satz habe ich verstanden.
Aber den ersten nicht.
Wie lautet denn die allgemeine GLeichung der Parabel 2. Ordnung? Und was soll ich dann einsetzen?

Gruß
Tim

19.11.2006, 13:46

uwe-b

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Also du hat:

$\begin{eqnarray*} g(0)= 0 = g(\pi) \end{eqnarray*}$

und:

$\begin{eqnarray*} g'(0)=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(\pi)=-1 \end{eqnarray*}$ .

Die allgemeine Gleichung 2. Ordnung lautet:

$\begin{eqnarray*} g(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a,b,c \in IR \end{eqnarray*}$ .

Dann: $\begin{eqnarray*} g'(x)=2ax+b \end{eqnarray*}$ .

Nun musst du folgende Gleichung lösen:

$\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g(\pi)=0 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} 0= a \pi^2+\pi b +c \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(0)=1 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} 1=b \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} g'(\pi)=-1 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} -1=2 a \pi + b \end{eqnarray*}$ .

Es folgt: $\begin{eqnarray*} a=-\frac{1}{\pi} \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ .

Also: $\begin{eqnarray*} g(x)=-\frac{1}{\pi} x^2 +x \end{eqnarray*}$ .

19.11.2006, 13:50

Katzenstreu

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Danke uwe-b!

Ich werds mir ausdrucken und nachvollziehen. Das Ergebnis ist jedenfalls richtig Freude

19.11.2006, 14:29

klarsoweit

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@uwe-b: es ist zwar schön, daß du hier hilfst. Aber von vorn bis hinten vorgerechnete Lösungen sind eher nicht gewünscht. Augenzwinkern

Siehe:
Prinzip "Mathe online verstehen!"

19.11.2006, 14:33

Katzenstreu

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Bis hier konnte ich folgen.

Zitat:

Original von uwe-b
... $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ --> $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ...

Warum bist du dir sicher, dass $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ ist?
Wir wissen, dass $\begin{eqnarray*} g(0)=0 \end{eqnarray*}$ ist. Jedoch könnte $\begin{eqnarray*} c=-5 \end{eqnarray*}$ sein. Dann müsste $\begin{eqnarray*} ax^2+bx=+5 \end{eqnarray*}$ sein.

19.11.2006, 14:47

klarsoweit

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Zitat:

Original von uwe-b
Die allgemeine Gleichung 2. Ordnung lautet:

$\begin{eqnarray*} g(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a,b,c \in IR \end{eqnarray*}$ .

Setz doch mal x=0 da ein. Was steht dann da?

19.11.2006, 14:49

Katzenstreu

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von uwe-b
Die allgemeine Gleichung 2. Ordnung lautet:

$\begin{eqnarray*} g(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ , wobei $\begin{eqnarray*} a,b,c \in IR \end{eqnarray*}$ .

Setz doch mal x=0 da ein. Was steht dann da?

Sorry, wie blöd von mir! LOL Hammer

Danke! weiter gehts smile

19.11.2006, 16:26

Katzenstreu

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Aufgabe 2b war schnell gelöst, da ich die beiden Funktionen graphisch aufgetragen habe.

Aber bei Aufgabe 2c hakt es wieder. Ich habe bereits:

Definitionsbereich: $\begin{eqnarray*} [0|\Pi/2] \end{eqnarray*}$ (entspricht 90°)
$\begin{eqnarray*} f(x)=sin(x) \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} f'(x)=cos(x) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} h(x)=ax^2+bx+c \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} h'(x)=2ax+b \end{eqnarray*}$

Bedingungen: $\begin{eqnarray*} f(0)=h(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(\Pi/2)=h'(\Pi/2) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} sin(0)=a*0^2+b*0+c \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} cos(\Pi/2)=2a*\Pi/2+b \end{eqnarray*}$ => $\begin{eqnarray*} b=2/(a*\Pi) \end{eqnarray*}$

Somit ist $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=2/(a*\Pi) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist von $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ abhängig und umgekehrt. Wie kann ich $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b \end{eqnarray*}$ bestimmen?

Gruß
Tim

19.11.2006, 16:35

klarsoweit

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Zitat:

Original von Katzenstreu
Bedingungen: $\begin{eqnarray*} f(0)=h(0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f'(\Pi/2)=h'(\Pi/2) \end{eqnarray*}$

Da hast du was falsch verstanden. Es soll sein:
$\begin{eqnarray*} f(0)=h(0) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f'(0)=h'(0) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(\pi/2)=h(\pi/2) \end{eqnarray*}$
Augenzwinkern

19.11.2006, 17:07

Katzenstreu

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Ganz komplett wäre es dan nerst jetzt, oder?!

$\begin{eqnarray*} f(0)=h(0) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f(\pi/2)=h(\pi/2) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f'(0)=h'(0) \end{eqnarray*}$ und
$\begin{eqnarray*} f'(\pi/2)=h'(\pi/2) \end{eqnarray*}$

Also sollen beide Funktionen bei $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ und bei $\begin{eqnarray*} x=\Pi/2 \end{eqnarray*}$ den gleichen $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ -Wert haben.
Also gehts weiter Freude

19.11.2006, 18:11

klarsoweit

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Zitat:

Original von Katzenstreu
$\begin{eqnarray*} f'(\pi/2)=h'(\pi/2) \end{eqnarray*}$

Also lese ich in Aufgabe 2c nicht. Mag sein, daß das so rauskommt, aber es ist in der AUfgabe nicht verlangt.

19.11.2006, 20:02

Katzenstreu

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Katzenstreu
$\begin{eqnarray*} f'(\pi/2)=h'(\pi/2) \end{eqnarray*}$

Also lese ich in Aufgabe 2c nicht. Mag sein, daß das so rauskommt, aber es ist in der AUfgabe nicht verlangt.

Japp, du hast Recht. Klar soweit LOL Hammer

!

Edit 1:
Doch nicht! ich habe Recht:
...und in den Werten (Mehrzahl) für die erste Ableitung...
Ist aber auhc egal Augenzwinkern

19.11.2006, 20:43

Katzenstreu

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Könnt ihr bestätigen das $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ ist?

Für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ habe ich bereits mehrere Werte bestimmt, die bis jetzt alle falsch waren.

20.11.2006, 08:18

klarsoweit

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Zitat:

Original von Katzenstreu
Könnt ihr bestätigen das $\begin{eqnarray*} c=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b=1 \end{eqnarray*}$ ist?

Ja.

Zitat:

Original von Katzenstreu
Für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ habe ich bereits mehrere Werte bestimmt, die bis jetzt alle falsch waren.

Welche denn?

Nochmal zum Text der Aufgabe: Vielleicht habe ich da ein anderes Deutschverständnis. Ich zitiere:
..., so dass beide Funktionen für x=0 in den Funktionswerten und in den Werten für die 1. Ableitung (übereinstimmen) und für x=pi/2 in den Funktionswerten übereinstimmen.

Also nach meinem Sprachverständnis bezieht sich die Sache mit der 1. Ableitung nur auf die Stelle x=0.

Wie dem auch sei, so sieht das aus:

20.11.2006, 19:22

Katzenstreu

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Ich habe folgende Ergebnisse:

a=0 und
a=-0,31831 und
a=+0,36338

Keiner der Werte ist korrekt. -0,31831 kommt dem gesuchten Wert am nächsten, jedoch herrscht noch eine recht große Differenz.

Edit 1:
Ich habe a graphisch ermittelt. a müsste bei zirka -0,23 liegen. unglücklich

21.11.2006, 09:10

klarsoweit

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Zitat:

Original von Katzenstreu
Ich habe folgende Ergebnisse:

a=0 und
a=-0,31831 und
a=+0,36338

Wenn du x = pi/2 in f(x) = ax² + bx + c einsetzst, dann muß da 1 rauskommen. Wir haben schon c=0 und b=1. Da muß es doch möglich sein, das a richtig zu bestimmen.

21.11.2006, 19:01

Katzenstreu

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Zitat:

Original von klarsoweit

Zitat:

Original von Katzenstreu
Ich habe folgende Ergebnisse:

a=0 und
a=-0,31831 und
a=+0,36338

Wenn du x = pi/2 in f(x) = ax² + bx + c einsetzst, dann muß da 1 rauskommen. Wir haben schon c=0 und b=1. Da muß es doch möglich sein, das a richtig zu bestimmen.

Danke für die beseitugung meiner Blokade^^.

Ich habe f(0)=h(0), f(Pi/2)=h(Pi/2), f'(0)=h'(0) und f'(Pi/2)=h'(Pi/2) gesetzt. Und dann kam immer etwas anderes raus.

Danke klarsoweit! Prost

Edit 1:
Nein, a ist nicht 1!
a muss negativ sein. a ist -0,231335. Das ist auch der Wert, den ich grafisch ermittelt habe! Augenzwinkern

21.11.2006, 19:16

klarsoweit

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Zitat:

Original von Katzenstreu
a muss negativ sein. a ist -0,231335. Das ist auch der Wert, den ich grafisch ermittelt habe! Augenzwinkern

Könnte stimmen. Ich rechne das jetzt nicht nach. Ein Term mit pi wäre mir lieber gewesen.

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