Lineare Abbildungen, Bestimmung von Kern,Bild,Rang

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09.12.2010, 20:06	~joe~	Auf diesen Beitrag antworten »
Lineare Abbildungen, Bestimmung von Kern,Bild,Rang Meine Frage: Hey Leute, hab da mal nen Problem wo ich die Meinung von Fachleuten gebrauchen könnte. Also haben in Algebra ne Übungsaufgabe zu Bestimmung von Kern,Bild und Rang einer lin. Abb. bekommen: Man weise nach, daß $\begin{eqnarray} L: R^3 -> R^2 mit L( \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} ) = \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ eine lineare Abbildung ist und bestimme den Kern, das Bild und den Rang. Meine Ideen: So nun war ich nat. nich untätig und hab versucht es selbst zu lösen, nach einigen viel Versuchen hab ich dann das Internet bemüht und unter anderen dieses Thema gefunden http://www.matheboard.de/thread.php?threadid=384510 Daraufhin hab ich die Darstellende Matrix bzgl der Standardbasen des R^3 und R^2 gebildet indem ich ich halt 2 Gleichungen aufgestellt hab: 1. $\begin{eqnarray} L( \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 2. $\begin{eqnarray} L( \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} ) = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ 3. $\begin{eqnarray} L( \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} ) = \alpha \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} + \beta \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Somit würde ich auf die Darstellende Matrix A= $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ kommen. So nun schon das erste Problem kann ich das mit der 3ten Gleichung überhaupt machen bzw. brauche ich das überhaupt? Oder müsste die Darstellende Matrix so aussehen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ So dann zum Kern ist das einfach dann die Darstellende Matrix mal der Standardbasis des R^3 = dem Nullvektor also? Weil das dürfte doch nicht gehen oder? Oder ist das dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Wobei die Lösung da ja dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ wäre... So ich hoffe ihr könnt mir da einwenig helfen weil ich grad echt den Durchblick verliere bzw. schon verloren hab ^^
09.12.2010, 21:52	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast eine Abbildung vom $\begin{eqnarray} \mathbb R^3\rightarrow \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ . Dies muss sich auch in der Abbildungsmatrix niederschlagen. Bzgl. des Kerns: Der Kern einer Abbildung ist die Menge von Vektoren, die auf den Nullvektor abgebildet werden. Die Gleichung dazu hast Du richtig aufgestellt, aber falsch gelöst.
10.12.2010, 01:52	~joe~	Auf diesen Beitrag antworten »
Hey erstmal Danke für die Antwort, nur magst du mir verraten inwiefern sich die Abb dann auf die Darstellende Matrix niederschlägt? Also muss dann ne 2x2Matrix oder ne 2x3Matrix rauskommen, und is die Abbildungsmatrix die du meinst gleich der Darstellende Matrix von der ich rede oder bin ich damit sogar schon aufm Holzweg? Und bei der GLeichung mit dem Kern habe ich glaube falsch mit den Latex geschrieben meinte nat. das der Kern dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sein müsste, is das korrekt bei der Aufgabenstellung?
10.12.2010, 08:56	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Deine Abbildungsmatrix/darstellende Matrix ist richtig, auch der Gedanke dahinter stimmt. Trotzdem hast du das LGS noch immer falsch gelöst.
10.12.2010, 09:12	~joe~	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin also is: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ die richtige Darstellende Matrix. Wenn ich diese jetzt mit dem Vektor $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ multipliziere bekomm ich doch dann diesen $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Vektor bei raus womit ich ja 3 Gleichungen hätte: $\begin{eqnarray} x_1 = 0 <br /> x_2 = 0 <br /> 0 = 0 \end{eqnarray}$ Sodass dann doch eig als Kern $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ heraus kommen müsste, oder wo is da mein Fehler? Sry steh anscheinend voll aufm Schlauch
10.12.2010, 09:13	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Stichwort: unterbestimmtes Gleichungssystem.
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10.12.2010, 09:20	~joe~	Auf diesen Beitrag antworten »
Achso wegen $\begin{eqnarray} 0=0 \end{eqnarray}$ gibt es unendlich viele Lösung darum muss ich für $\begin{eqnarray} x_1 und x_2 \end{eqnarray}$ einfach Variablen $\begin{eqnarray} s,t \in \mathbb R \end{eqnarray}$ nehmen?! Also als Kern dann $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} s \\ t \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} s,t \in \mathbb R \end{eqnarray}$
10.12.2010, 09:21	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, $\begin{eqnarray} x_1,x_2 \end{eqnarray}$ sind doch eindeutig bestimmt. Vielmehr solltest du dir über die dritte Komponente Gedanken machen.
10.12.2010, 09:24	~joe~	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok kam mir eh schon komisch vor also dann das gleiche Prinzip nur für die 3 Komponente. Kern $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ t \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} t \in \mathbb R \end{eqnarray}$ sry aber bin da anscheinend echt ganzschön verplant...
10.12.2010, 09:30	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Wenn du jetzt noch Mengenklammern machen würdest, stimmt der Kern, ja.
10.12.2010, 11:14	~joe~	Auf diesen Beitrag antworten »
Cool Danke, so nun weiter zum Bild und der Dimension.Vorgehen würde ich wie hier beschrieben. Nur ne Verstöndnisfrage vorne weg ist mit Gaußalgorythmus und Zeilenstufenform das normale Gaußverfahren was man in der Schule lernt also wenn man quasi 3 Gleichungen mit 3 unbekannten hat und versucht immer eine Spalte zu eliminieren bis man zum Schluß nur noch eine Zeile mit einer unbekannten hat gemeint? Oder is damit der etwas abgewandelte Gaußalgorythmus aus der Uni gemeint,also mit Spalten- und Spaltenvertauschung so das man auf ne Dreiecksmatrix bekommt? Und was ist dann die Dimension wenn ich die MAtrix soweit gebracht habe?Das ist leider nicht weiter behandelt in dem Text. Bei dem Bild auch die VErständnisfrage von oben UNI oder Schulgaußalgorythmus ist zwar hier offensichtlich aber zum Verständnis für spätere Rechnungen. Das Bild müsste hier ja $\begin{eqnarray} Bild = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ sein oder? Also die Darstellende Matrix ist ja $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ und davon die Transponierte Matrix wäre ja $\begin{eqnarray} A^T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \\ 0 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ da die dann ja schon egal ob UNI oder Schul Gaußalgorythmus in der entsprechenden Form ist es ja offensichtlich das, dass $\begin{eqnarray} Bild = \left\{ \begin{pmatrix} 1 \\ 0 \end{pmatrix} , \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \end{pmatrix} \right\} \end{eqnarray}$ dann so aussieht oder bin ich da wieder aufm Holzweg?
10.12.2010, 11:17	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein,Du liegst richtig. Man hätte auch einfach argumentieren können, dass die ersten beiden Einheitsvektoren im Bildraum enthalten sind (Klar warum?) und somit der komplette $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ erzeugt wird.
10.12.2010, 11:22	Iorek	Auf diesen Beitrag antworten »
Das Bild hast du richtig bestimmt. Der Gaußalgorithmus (nicht Rhytmus, den gibts in der Musik) in der Schule ist eigentlich nicht anders als der "abgewandelte Gaußalgorithmus", ich weiß grad nicht worauf du damit hinauswillst. Der Rang der Matrix entspricht der Dimension des Bildes.
10.12.2010, 11:40	~joe~	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja der Gaußalgorithmus den wir diese Woche in der Uni behandelt haben ist für halt nur noch ein wenig "weitergehen" weil man da ja auch auch Zeilen und Spalten tauschen kann um auf eine Dreicksmatrix zukommen in meinen Bsp. quasi $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ so die Spalten vertauschen das ich auf eine MAtrix der Art $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ komme. Wobei sich mir hier wieder die Frage stellt ob eine Dreiecksmatrix als letzte Zeile nicht eine "Nullzeile" haben muss?! Und den Rang der Matrix berechne ich in dem ich sie auf Stufenform bringe und dann einfach die Anzahl der Zeilen zähle die ungleich 0 sind, also in meinen Beispiel wäre der Rang(A) = 2 und somit die Dim Bild(L) = 2 oder? Und wie schaut das mit dem Rang von L aus? Ist der dann nich gleich dem Rang der Darstellenden Matrix also auch Rang(L) = 2
11.12.2010, 11:35	~joe~	Auf diesen Beitrag antworten »
Moin, könnt mir jemand nochmal sagen ob das mit dem Rang(L) und Dim(L) so hinhaut?
11.12.2010, 12:21	Helferlein	Auf diesen Beitrag antworten »
Warum machst Du es Dir so kompliziert? Der Rang einer Linearen Abbildung entspricht der Dimension des Bildraums und Du hast doch bereits gezeigt, dass die beiden Einheitsvektoren des $\begin{eqnarray} \mathbb R^2 \end{eqnarray}$ den Bildraum aufspannen. Wie groß wird dann also die Dimension des Bildraums sein?
11.12.2010, 13:55	~joe~	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok also is mein Ergebnis mit Rang(L)=2 ja korrekt... Danke für die Hilfe

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