Newton-Verfahren Intervall bestimmen

09.12.2010, 20:28	Matheküken	Auf diesen Beitrag antworten »
Newton-Verfahren Intervall bestimmen Meine Frage: Ich hab die Funktion $\begin{eqnarray} f(x)=x^a-b \end{eqnarray}$ davon sollte ich die Iterationsfunktion bestimmen. Für diese Funktion soll ich zeigen, für welches a die Funktion divergiert und ein Intervall angeben (geometrisch). Dieses Intervall soll nun für ein beliebiges a und b zu berechnen sein. Meine Ideen: Meine Iterationsfunktion (Newton-Verfahren): $\begin{eqnarray} g(x)=x_{n+1}=x_n- \frac {x_n^a-b}{a\cdot x_{n} ^{a-1}}= \frac{1}{a} \cdot((a-1)\cdot x_n+ \frac{b}{x_n^{a-1}}) \end{eqnarray}$ Ok ich habe mir klar gemacht, wann das Newton-Verfahren konvergiert, divergieren würde es ja wenn die Ableitung = 0 ist also wenn x1=0 ist dann kann ich meine gleichung g(x) nach x0 auflösen und habe die stellen an denen es divergiert. Ich tue mich sehr schwer die allgemeine Form aufzustellen und ein solches Intervall aufzustellen für ein beliebiges a und b. Für $\begin{eqnarray} a=-1 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} b=3 \end{eqnarray}$ , $\begin{eqnarray} x1=0 \end{eqnarray}$ ist es ja einfach diese Gleichung nach $\begin{eqnarray} x0 \end{eqnarray}$ aufzulösen und so $\begin{eqnarray} \frac{2}{3} \end{eqnarray}$ als stelle der Divergenz zu errechnen eine Hilfe zur allgemeinen Form wäre sehr nett Matlab macht auch nich das was ich will .
11.12.2010, 22:00	Matheküken	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren Intervall bestimmen Kann mir jemand helfen oder ist unklar was mein Problem ist?
11.12.2010, 22:22	tigerbine	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren Intervall bestimmen Was ist zu hier zu tun? Es geht um die Nullstellen von: $\begin{eqnarray} f(x)=x^a-b \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} f: \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray}$ ? Was wäre die algebraische Lösung? $\begin{eqnarray} 0=x^a-b \Leftrightarrow x^a=b \end{eqnarray}$ Einfaches Beispiel ohne Lösung $\begin{eqnarray} f(x):=x^2+1 \end{eqnarray}$ Beispiele für Probleme Wenn du so flexibel bist, die "n" nicht durcheinander zu bringen, würde ich das mal lesen: [WS] Eindimensionele Nullstellenprobleme - Beispiele
12.12.2010, 14:25	Matheküken	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren Intervall bestimmen Ok ich glaube wir reden aneinander vorbei. Das Newton-Verfahren habe ich verstanden, dass man damit Wurzeln berechnen kann usw. denn ich habe einen Beitrag von dir schon durchgelesen (der sehr gut war und sehr viel zum Verständnis beigetragen hat). Die Frage ist/war: Für a > 0 sind geometrisch alle Startwerte zu ermitteln, für die Konvergenz vorliegt. Für a < 0 bestimme man geometrisch ein möglichst großes Intervall, in welchem das NEWTON-Verfahren gegen die positive Nullstelle von f (x) konvergiert. Für a =-1 und a =-2 gebe man für b = 3 dieses Intervall zahlenmäßig an. Besser ist es natürlich, dieses Intervall für beliebiges a und b zu berechnen. Je allgemeiner, desto besser! Für konkrete a und b konnte ich mein Intervall bestimmen und ausrechnen wo Divergenz herrscht. z.B. für a=-1 und b=3, x1=0. [attach]17124[/attach] geometrisch sieht man bei 2/3 und das kann man auch nachrechnen mit: $\begin{eqnarray} x_1=x_0-\frac{x_0^a-b}{a \cdot x_0^{a-1}} \end{eqnarray}$ nun ist $\begin{eqnarray} x_1=0 ,a=-1,b=3 \end{eqnarray}$ , für so ein Beispiel kann ich sagen wo Divergenz herrscht nur nicht wie ich das allgemein zeigen soll für a und b,meine Probleme liegen jetzt bei "Besser ist es natürlich,dieses Intervall für beliebiges a und b zu berechnen. Je allgemeiner, desto besser!"
14.12.2010, 20:13	Matheküken	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Newton-Verfahren Intervall bestimmen Kann mir da geholfen werden? Hat jemand noch Einfälle?

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