Induktionsbeweis

19.11.2006, 13:14	StudentXYZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Induktionsbeweis Hi, ich muss durch Induktion nach n beweisen, dass die letzte Ziffer der Zahl $\begin{eqnarray} 7^n - 2^n \end{eqnarray}$ für n€N immer 5 ist. Nun, der Induktionsanfang passt ja schon mal, da bei n=1 -> 7 - 2 = 5. Nur beim Induktionsschluss komm ich auf keinen grünen Zweig. Eventuell gehts mit dem Ansatz $\begin{eqnarray} \frac{7^n - 2^n}{5} = 2k + 1 \end{eqnarray}$ , da wenn die Zahl durch 5 teilbar und ungerade ist, die letzte Ziffer immer 5 ist, aber bin auch zu keinem Schluss gekommen... Vielleicht habt ihr eine gute Idee? Danke, lg
19.11.2006, 13:40	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Induktionsbeweis Was ist denn beim Induktionsschluß zu zeigen, sprich: welcher Term ist durch 5 teilbar? EDIT: hatte es überlesen: es geht nicht um Teilbarkeit, sondern um die Endziffer. Ändert aber nichts wesentliches.
19.11.2006, 13:42	Dual Space	Auf diesen Beitrag antworten »
Obwohl es evtl. eine Aufgabe aus der Analysisvorlesung/-übung ist, verschieb ich mal in die Algebra, da es dort mMn besser aufgehoben ist. *verschoben*
19.11.2006, 14:02	Student XYZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Zu zeigen wäre dass die Zahl $\begin{eqnarray} 7^{n+1} - 2^{n+1} \end{eqnarray}$ ebenfalls die 5 als letzte Ziffer hat. lg
19.11.2006, 14:17	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
OK. Jetzt hilft eine kleine Umformung: $\begin{eqnarray} 7^{n+1} - 2^{n+1} = 7 \cdot 7^n - 2 \cdot 2^n = 7 \cdot 7^n - 2 \cdot 7^n + 2 \cdot 7^n - 2 \cdot 2^n \end{eqnarray}$ Jetzt kannst du ein bißchen ausklammern und schauen, welche Endziffer jeder Term hat.
19.11.2006, 21:32	Student XYZ	Auf diesen Beitrag antworten »
Sorry aber steh echt total auf der Leitung...komm einfach auf keinen allgemeinen Beweis... @klarsoweit Danke für deinen Tipp, hatte auch schon sowas ähnliches, aber komm an dieser Stelle einfach nicht weiter...
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20.11.2006, 09:02	klarsoweit	Auf diesen Beitrag antworten »
Das kann doch nicht wahr sein. $\begin{eqnarray} 7^{n+1} - 2^{n+1} = 7 \cdot 7^n - 2 \cdot 2^n = 7 \cdot 7^n - 2 \cdot 7^n + 2 \cdot 7^n - 2 \cdot 2^n \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} = 5 \cdot 7^n + 2 \cdot (7^n - 2^n) \end{eqnarray}$ Auf den 2. Summanden kannst du die Induktionsvoraussetzung anwenden. Welche Endziffer also dieser Term? Welche Endziffer hat der 1. Term?

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