Darstellungsmatrizen und Basiswechsel Verständnisproblem

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Martin L Auf diesen Beitrag antworten »
Darstellungsmatrizen und Basiswechsel Verständnisproblem
Meine Frage:
Hallo,

wir haben diese Woche in der Vorlesung Darstellungsmatrizen behandelt und irgendwie wollen die nicht so ganz in meinen Kopf. Also ich weiß wie ich aus einer Linearen Abbildung von V nach W eine mache, wenn ich von V und W eine Basis habe aber ich weiß irgendwie nicht was mir das bringt.

Also wofür braucht man das? Was macht man damit?

Joa und dann kommen die Basiswechsel wo man mithilfe von Transformationsmatrizen die Basen der Darstellungsmatrix austauscht und da hörts dann endgültig auf.
Irgendwie ist mir das zu Abstrakt. Vielleicht bräuchte ich nur ein Beispiel wo man alles mal in abhängigkeit von einander benutzt um zu sehen wie was zusammenhängt oder nicht.

Meine Ideen:
Es geht jetz gar nicht um eine Konkrete Aufgabe deshalb fällt mir hier auch wenig zu schreiben ein ;-).

Ich hoffe ihr könnt mir da auf die Sprünge helfen, da ich denke, das könnte wichtig sein ;-).

Gruß
Martin
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Wozu braucht man Mathematik ? Wenn man sie zu gebrauchen versteht, hilft sie, ganz und gar schrecklich komplizierte Dinge mit einfachen Hilfsmitteln zu bearbeiten. So auch hier. Vektoren sind ganz und gar schrecklich komplizierte Dinge, völlig unbeherrschbar. Erst dadurch, dass Vektoren als Elemente von Vektorräumen erkannt werden, kann man die ganze Power der linearen Algebra auf sie loslassen. Man kann sie linear in andere Vektorräume abbilden, die man besser versteht und anhand ihrer Bilder Erkenntnisse über sie gewinnen. Man kann andere Vektoren auf oder in sie abbilden und auch daraus Nutzen ziehen. All das kann man nur, wenn man lineare Abbildungen beherrscht. Geht aber auch nicht, weil lineare Abbildungen ganz und gar schrecklich komplizierte Dinge sind. Also braucht man wieder die lineare Algebra, die uns erklärt, wie lineare Abbildungen mit so wunderschön einfachen Zahlendingern (oder zumindest Dingern, deren Elemente aus Körpern stammen) zusammenhängen, die man Matrizen nennt. Alles klar ? Alles klar. Ein reines Wunder der Mathematik ist, dass die lineare Algebra uns erklärt, wie Zahlkörper funktionieren. Big Laugh
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

:-D

Sehr schön gesagt ;-)

ich bin auch schon etwas weiter. Ich hab mir jetzt noch mal genau angeguckt was die Dinger sind, wie sie sich aufbauen und das man damit sozusagen am ende die Lineare Abbildung "ersetzen" kann?

Also wenn ich nen vektor abbilde oder mit der darstellungsmatrix multipliziere kommt das selbe raus oder?

Dann muss ich mir nur noch die Basiswechsel angucken. Ich hoffe ich kapier das

Gruß
Martin
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Genau so ist es.
Ein Vektorraum ist eine Menge von Vektoren "über" einem Körper ist eine abelsche Gruppe, heißt skalare Multiplikation, dafür gelten die üblichen Regeln.
Jeder Vektorraum hat eine Basis, das ist ein linear unabhängiges Erzeugendensystem. Alle Basen eines Vektorraumes haben dieselbe Mächtigkeit, das ist die Dimension des Vektorraumes.
Abbildungen mit heißen linear. Bezüglich Basen von und gehört zu einer linearen Abbildung genau eine Matrix , so dass gilt . In den Spalten der Matrix stehen die Bilder der Basisvektoren.
Sind Basen von V und W, so sind insbesondere die Basiswechsel von V und W jeweils lineare Selbstabbildungen, so dass mit Matrizen gilt, die zu diesen Basiswechseln gehören.
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das macht soweit alles Sinn.

DAs ist nur im ersten Moment immer sehr abstrakt und wenn man in der Vorlesung dann nur aij aji v1 bis vn, v'1 bis v'n und b1 bis bm hört und j-te spalte und summe der bilder v1 bis vn und so weiter, dann kann ich mir da erst mal nichts drunter vorstellen.

Da ist es bisher in Analysis schöner, Folgen, Reihen und die jeweilige Konvergenz kann man sich noch sehr schön veranschaulichen.

Das mit den Basiswechseln hab ich auch kapiert. Ist das dann einfach dazu, die Matrix selbst zu vereinfachen?
Also wenn man bezüglich der Standardbasen von V und W ne riesen Matrix rauskriegt mit ganz vielen komplizierten Ausdrücken an speziellen Stellen, dass man dann einfach die Basen austauscht und dann hat man nur noch eine Darstellungmatrix mit ganz vielen ganz einfachen Einträgen?

Dann muss ich mir nur noch angucken wie diese Basiswechselmatrizen aussehen und wie man an die ran kommt und wie man das dann tauscht und dann hab ichs glaub ich kapiert, aber das müsste ja in einem meiner schlauen Bücher stehen ;-).

Danke sehr
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hab ich jetzt aber ein Problem :-D

ich hab mal ne Aufgabe gemacht und was raus was falsch ist:

Es geht um folgende Aufgabe:

Sei V der R-Vektorraum der reellen 2*2 Matrizen über R. Sei fixiert.

Betrachte die lineare Abbildung:


Durch welche Matrix wird bezüglich der Standardbasis:


beschrieben?


JEtzt muss ich doch erst die Standardbasis einmal abbilden oder?
Also
A*e1 - e1*A
A*e2 - e2*A
A*e3 - e3*A
A*e4 - e4*A

da bekomme ich dann ja jeweils wieder eine 2*2 Matrix raus.

Die muss ich doch dann wieder durch die Standardbasis darstellen jeweils und die Koeffizienten kommen dann in die j-te Spalte meiner Darstellungsmatrix?

Dann bekomme ich aber eine 4*4 Darstellungsmatrix und das ist doch ganz bestimmt falsch weil ich doch damit gar keine 2*2 Matrix multiplizieren kann...

Wo ist mein Denkfehler?

Gruß
Martin
 
 
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

; in Worten: eine 4*4 Darstellungsmatrix ist ganz bestimmt richtig.

Der Denkfehler liegt darin, dass man die Darstellungsmatrix nicht mit den Vektoren (den ganz und gar schrecklich komplizierten Dingen) multipliziert, sondern mit Komponentenvektoren, denn jeder Vektor hat bezüglich einer Basis eine eindeutige Darstellung
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Ja hab ich auch grad gemerkt nachdem ich das mit der dimension bei wikipedia noch mal nachgelesen habe.

Um dann also sozusagen den Vektor abzubilden wandelt man ihn um in Koordinaten bzgl. der ersten Basis, dann Mutlipliziert man mit diesem "Koordinatenvektor" und mit dem Ergebnis bildet man dann wieder die Linearkombination (jetzt weiß ich nicht ob mit der ersten oder mit der zweiten Basis, ich würde sagen mit der zweiten aber in meinem Beispiel sind die ja gleich deshalb bin ich mir nicht sicher).
Und dann hat man das Ergebnis welches man auch durch f(Vektor) erhalten hätte.

Soweit richtig? Also in meinem Beispiel klappt das ;-).

So langsam komm ich rein glaub ich :-D hoffe ich :-D

Gruß
Martin
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Im allgemeinen hat man lineare Abbildungen (Homomorphismen) mit Basen , da kann man bezüglich und bezüglich darstellen.
Bei linearen Selbstabbildungen (Endomorphismen) tritt häufig der Fall auf, dass man die Darstellungsmatrix bezüglich einer festen Basis bestimmt.
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

mhh ja soweit klar aber mir gings nur darum ob der Weg richtig war

abzubildenden Vektor nehmen,
Vektor als Linearkombination aus B_v schreiben
Koeffizienten der Linearkombination als Spaltenvektor aufschreiben
Darstellungsmatrix mit dem Spaltenvektor Multiplizieren
Das Ergebnis wieder als Spaltenvektor von Koeffizienten auffassen,
mit diesen Koeffizienten eine Linearkombination aus B_w machen (hier war ich unsicher)

= Ergebnis von f(abzubildendem Vektor)

Gruß
Martin
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

In Worten sieht das alles immer ein bißchen merkwüdig aus ... ich glaube, es ist alles korrekt. (Wenn es mit 3 nichttrivialen Beispielen funktioniert, dann stimmt es ganz sicher.)
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Jaja, der Beweis durch drei nicht triviale Beispiele ;-) ich finde der sollte in die Liste des direkten Beweises, vollständige Induktion, Widerspruch etc noch aufgenommen werden.
Elvis Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, finde ich auch. Das nennt man dann "Anschauung auf höherem Niveau". Augenzwinkern
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,

ich sitze gerade auch an dieser Aufgabe, nur das Problem bei mir ist, dass ich diese Woche nicht in der Uni war (wgn. Krankheit), somit habe ich keine Unterlagen...

Ich habe gerade versucht durchzublicken, doch es fällt mir schon recht schwer....


Den Ansatz mit
A*e1 - e1*A
A*e2 - e2*A
A*e3 - e3*A
A*e4 - e4*A (von Martin L) hatte ich auch.

Doch dann habe ich diese 2x2 Matrizen jewils als Vektoren (ich weiß nicht, ob das der richtige Begriff dazu ist) zu einer Matrix aufgeschrieben....

Also:



(falls ich mich hier nicht verrechnet habe...)
Doch es scheint mir, flasch zu sein. Kann mir vllt. jmd. sagen, was ich nun machen soll, wenn ich die 4 2x2 Matrizen habe?

Vieln Dank für eure Hilfe schon mal! smile
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

die ist falsch ;-)

also ich hab zumindest in der zweiten zeile in der zweiten zeile statt a- c ein a-d ansonsten ist das soweit ich das sehe richtig.

Gruß
Martin
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

....ich habe den Fehler auch gerade bemerkt. Augenzwinkern
Ist es denn sonst richtig???? smile
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Ja sonst hab ich die Matrix genau so, also scheint das richtig zu sein, ich hab ja auch mal getestet mit


erst mal mit der linearen abbildung abgebildet und dann mit der darstellungsmatrix multipliziert und es kam das gleiche raus.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Super! Vielen Dank Martin L! smile

....Hast du auch einen Tipp, Idee zu Aufgabe 2?
Ich weiß, sie ist so ähnlich... Doch da ich keine Unterlagen von letzter Woche habe.... unglücklich

Hier noch mal die Aufgabe für alle:

Die lineare Abbildung f : werde bezüglich der Standardbasen durch die Matrix
A = beschrieben. Durch welche Matrix wird f bezüglich der Basen

d1 = , d2 = , d3 = , d4 = , des Q4 und

b1 = , b2 = des Q2 beschrieben?
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Ja das geht mit nem Satz den wir Aufgeschrieben haben:
Wenn du dieses Blaue Tutorium Buch hast dann steht der da auch drin, Seite 285 glaub ich.

Wenn du hast:
und das hast du ja, A ist die Standardbasis des und B die des

Und wir nennen jetzt mal kurz die Basis mit d1 bis d4 des Q^4 = D
und die Basis mit b1 und b2 des Q^2 = E.

Dann ist:


Das T ist jeweils die Basiswechselmatrix oder Transformationsmatrix. Da kannste ganz gut googlen wie die sich zusammen setzt, wenn ich das jetzt erkläre kommt man eh nur durcheinander.

Der rest ist dann einfach Matrizenmultiplikation.

Gruß
Martin
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die schnelle Antwort!
meine ich herausgefunden zu haben.





und machen mir jedoch Probleme.... Aufgrund der unterschiedlichen Dimensionene.... Hast du da vllt. einen Tipp?
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

ja genau die hab ich auch.

Scheint ja als hätte ich das verständliche machen können :-D ich bin überrascht :-D


Mhh warum unterschiedliche Dimensionen?

T_A^D

ist doch 4*4

einfach die eine Basis durch die andere darstellen

dann hast du da ja sozusagen stehen

2*2 matrix * 2*4 matrix * 4*4 matrix

und das geht doch prima

immer zeile * spalte bei der matrix multiplikation.

also erstes element erste zeile M1 * erstes element erste spalte M2 + zweites Element erste zeile M1 * zweites element erste spalte M2 + ....

immer wenn du mit allen spalten durch bist rückst du sozusagen einen platz weiter in der matrix und füllst die von oben links nach unten rechts zeilenweise.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

...mit ein wenig Google-Hilfe... Augenzwinkern

..Hast du'n jetzt 'n Tipp: s.o.?
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

Hatte die Frage übersehen, hab editiert oben und wir warn wohl gleichzeitig fertig ;-)
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

hmmmm... Ich weiß nicht, ob ihr jetzt ein wenig anders vorgenagne seid, als ich...


A = (d1 d2 d3 d4) ...keine Lust, dass jetzt auszuschreiben, dauert zu lange, hoffe, du verstehst.

B = (b1 b2) genauso!

Verfahren:



b2 = a*d1 + b*d2 + c*d3 + d* d1

und daraus müsste ja wieder die Matrix entstehen, doch ... ja! Vllt. verstehst du jetzt mein Problem! unglücklich
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

ah ne da bist du durcheinander gekommen
laub meine stimmt.

Du gehst ja mit der zweiten transformationsmatrix von D nach A.

Also musst du die Vektoren von D mithilfe von A als Linearkombinationen schreibne
A ist da bei die standardbasis des Q^4

also d1 = 1*erster std vektor + 1*2. std vektor + 1*3. std vektor + 1*4. std vektor
und d2 = 1*erster + 0 * zweiter + 1 * dritter + 1 mal vierter
und d3 = 2*erster + 1 * zweiter + -1* dritter .....
......


und jetzt nimmst du die koeffizienten der zeilen und schreibst die als spalten dann hast du deine Transformationsmatrix

Damit multiplizierst du dann am Ende.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

..was meinst du mit std Vektor?

Sorry, dass ich so viele Fragen stelle!
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

standard basis vektor an erster, zweiter, dritter etc stelle.

kein problem, wenn man nicht da war stell ichs mir ziemlich verwirrend vor.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

...dann habe ich für , wobei die 2 Spalte mir Kummer bereitet....

zu : und was mache ich hier?

A ist ja und B ist

...Ich stelle mich ja schon echt dum an! unglücklich
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

mhh ne die ist so auch nicht richtig.

Du stellst die vier vektoren d1, d2, d3, d4 als linearkombinationen der standardbasis des Q^4 da.

d1 = (1,1,1,1) = 1*(1,0,0,0) + 1*(0,1,0,0) + 1*(0,0,1,0) + 1*(0,0,0,1)
d2 = (1,0,1,1) = 1*(1,0,0,0) + 0*(0,1,0,0) + 1*(0,0,1,0) + 1*(0,0,0,1)
d3 = (2,1,-1,3) = 2*(1,0,0,0) + 1*(0,1,0,0) + -1*(0,0,1,0) + 3*(0,0,0,1)
d4 = (2,2,-2,3) = 2*(1,0,0,0) + 2*(0,1,0,0) + -2*(0,0,1,0) + 3*(0,0,0,1)

jetzt nimmst du die koeffizienten die du gebraucht hast um d1 dar zu stellen und schreibst die in die erste Spalte von . Dann nimmst die koeffizienten die di für d2 benutzt hast und schreibst die in die zweite spalte und so weiter.

Dann kriegst du in dem Fall genau die Matrix:
erste Spalte = d1, zweite Spalte = d2, dritte Spalte = d3, vierte Spalte = d4.

das ist dann deine Transformationsmatrix.


jetzt nimmst du deine erste Transformationsmatrix *
Das Ergebnis davon dann *

da kommen dann auch glatte Zahlen raus.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

somit ist bei mir:

Ich hatte mich vertan.... und noch mal: mir macht Probleme..... s. o.
Martin L Auf diesen Beitrag antworten »

MAB ist doch gegeben

Das ist die Matrix A in der Aufgabe.

Das ist ja die Darstellungsmatrix bezüglich der beiden standardbasen A und B.

Da brauchste gar nix mehr mit machen, außer nachher halt damit multiplizieren.
Hans Peter Auf diesen Beitrag antworten »

ich glaube, ich habe es!!! Für Mein M da nehme ich einfach diese Matrix A (vorgegeben) somit ist das Ergebnis:

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