Indirekter Beweis für irrationalität

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misaki Auf diesen Beitrag antworten »
Indirekter Beweis für irrationalität
Aufgabenstellung:

Seien m, n aus den natürlichen Zahlen mit Wurzel(m) irrational.
Zeigen Sie, dass Wurzel(m) + Wurzel(n) irrational ist.


Habe das mit einem Indirekten Beweis versucht und mal angenommen, es gäbe ein rationales x als Summe. x = a/b
.. Und dann hab ich versucht aus der Gleichung

einen Widerspruch zu erhalten ... Aber ich weiß einfach nicht wirklich wie vorgehen, ich hab schon so viel umgeformt und so .. aber irgendwie komm ich nicht zu nem Widerspruch?
Math² Auf diesen Beitrag antworten »

du hast bei deinem latex (am anfang) [late] und [/late] (am Ende) vergessen

hab bewusst das x jeweils am ende von latex vergessen weil er sonst eine formel erstellt
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zuerst mußt du zeigen, daß irrational ist. Daraus folgt automatisch, daß irrational ist.
Erst im Anschluss die Summe der beiden.

Nimm an, daß die Summe eine rationale Zahl ist. Dann lässt es sich als Bruch mit darstellen. Nun betrachtest du das Quadrat davon.


Ibn Batuta
misaki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Zuerst mußt du zeigen, daß irrational ist. Daraus folgt automatisch, daß irrational ist.
Erst im Anschluss die Summe der beiden.


daraus folgt doch gar nicht dass irrational ist .. z.B. m = 2, n = 9??

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Nimm an, daß die Summe eine rationale Zahl ist. Dann lässt es sich als Bruch mit darstellen. Nun betrachtest du das Quadrat davon.


das ist genau das, was ich machen wollte. daraus irgendwie einen widerspruch herleiten. aber ich hab keine ahnung was dann da ein widerspruch sein soll?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Bevor du berechnest, solltest du unbedingt noch folgendes beachten:

1. Ist n Quadratzahl (also die wurzel nicht irrational), so ist die ganze Sache trivial. Also nehmen wir an n sei keine Quadratzahl.

2. Man sollte n quadratfrei machen, sprich schreiben mit natürlichen Zahlen d und s, wobei d quadratfrei ist. Das ist stets möglich.
Dann ist .
Nun unterscheide 2 Fälle:
i) . Der Fall ist sehr leicht.

ii) . Nun solltest du mal berechnen.
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von misaki
[quote]Original von Ibn Batuta
Zuerst mußt du zeigen, daß irrational ist. Daraus folgt automatisch, daß irrational ist.
Erst im Anschluss die Summe der beiden.


daraus folgt doch gar nicht dass irrational ist .. z.B. m = 2, n = 9??

Sorry, mein Fehler. Habe fälschlicherweise angenommen, daß du das für beide zeigen sollst. Umso besser, dann können wir ja...

Zitat:
Original von misaki
das ist genau das, was ich machen wollte. daraus irgendwie einen widerspruch herleiten. aber ich hab keine ahnung was dann da ein widerspruch sein soll?


... das angreifen.



Dann sollte das klar sein.
 
 
misaki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Bevor du berechnest, solltest du unbedingt noch folgendes beachten:

1. Ist n Quadratzahl (also die wurzel nicht irrational), so ist die ganze Sache trivial. Also nehmen wir an n sei keine Quadratzahl.


das versteh ich aber nicht

ist doch immer noch irrational ??
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von misaki
Zitat:
Original von tmo
Bevor du berechnest, solltest du unbedingt noch folgendes beachten:

1. Ist n Quadratzahl (also die wurzel nicht irrational), so ist die ganze Sache trivial. Also nehmen wir an n sei keine Quadratzahl.


das versteh ich aber nicht

ist doch immer noch irrational ??


Er hat doch auch nirgends das Gegenteil behauptet.


Ibn Batuta
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Ja genau. Genau das soll ja auch gelten.

@Ibn Batuta: Dein Argument greift nicht immer. Z.b. bei . Beachte mal mein Post. Da ist erklärt, wie man sich diesem Problem entledigt.
misaki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Ibn Batuta
Zitat:
Original von misaki
Zitat:
Original von tmo
Bevor du berechnest, solltest du unbedingt noch folgendes beachten:

1. Ist n Quadratzahl (also die wurzel nicht irrational), so ist die ganze Sache trivial. Also nehmen wir an n sei keine Quadratzahl.


das versteh ich aber nicht

ist doch immer noch irrational ??


Er hat doch auch nirgends das Gegenteil behauptet.


Ibn Batuta


achso mit trivial meinte er nur ist sowieso klar Big Laugh haha okay.

naja aber wenn ich jetzt



habe, wie mach ich dann denn bitteschön weiter?? Ich will ja nen widerspruch bekommen .. aber ich habe keine ahnung wo da einer sein soll
Ibn Batuta Auf diesen Beitrag antworten »

Edit. Jetzt weiß ich, was du meinst. Sorry!
misaki Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nicht .. Ich versteh überhaupt nicht warum ich das trennen mus? verwirrt
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Eben weil es sonst nicht klappt.

Das Argument soll wie folgt lauten:

Es ist , also .

Dies soll jetzt ein Widerspruch sein, weil nm keine Quadratzahl ist. Leider ist es aber z.b. für n=2, m=18 eine Quadratzahl.

Also muss man das Argument verfeinern. Die Anleitung dazu habe ich ja bereits geposted.
misaki Auf diesen Beitrag antworten »

Aahm okay.
Also zeige ich 1) d = m dass
und das ist irrational, weil eine irrationale Zahl mit einer natürlichen Zahl multipliziert immer noch irrational ist?

und dann
2) d ungleich m

und form das um und erhalte dann

... und das soll jetzt ein Wderspruch sein? Weil Wurzel(mn) irrational ist und die rechte Seite aber rational?
tmo Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der 1) ist ein kleiner Vorzeichenfehler, aber sonst ok.

Zur 2)

Eben genau das musst du noch begründen. Dabei musst du natürlich benutzen, dass m und d beide quadratfrei sind.

Da fällt mir gerade ein, dass wir letzteres noch gar nicht gesichert haben. Aber das geht ja natürlich analog.
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Die Sache geht auch einfacher. Es sei und irrational.
Annahme: sei rational, also:



mit p und q natürliche Zahlen. Dann hat man





Woraus folgt ist rational im Widerspruch zur Voraussetzung.
misaki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von tmo
Zur 2)

Eben genau das musst du noch begründen. Dabei musst du natürlich benutzen, dass m und d beide quadratfrei sind.

Da fällt mir gerade ein, dass wir letzteres noch gar nicht gesichert haben. Aber das geht ja natürlich analog.


Und wie soll ich das begründen? oO

und @ Huggy .. wenn wurzel(n) rational ist, funktioniert das aber nicht! oder ?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von misaki
und @ Huggy .. wenn wurzel(n) rational ist, funktioniert das aber nicht! oder ?

Dann ist der Beweis doch trivial, wie schon angemerkt wurde.
Du bringst dann auf die rechte Seite. Dort steht dann die Differenz zweier rationaler Zahlen, wenn man annimmt, dass die Summe der beiden Wurzeln rational wäre. Also wäre auch rational im Widerspruch zu der Voraussetzung.
misaki Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Huggy
Zitat:
Original von misaki
und @ Huggy .. wenn wurzel(n) rational ist, funktioniert das aber nicht! oder ?

Dann ist der Beweis doch trivial, wie schon angemerkt wurde.
Du bringst dann auf die rechte Seite. Dort steht dann die Differenz zweier rationaler Zahlen, wenn man annimmt, dass die Summe der beiden Wurzeln rational wäre. Also wäre auch rational im Widerspruch zu der Voraussetzung.


achso ja, das ist leicht.

aber ich versteh jetzt noch nicht warum aus deinem vorherigen Beispiel folgt das rational ist ... nur weil es mit multipliziert wird?
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von misaki
aber ich versteh jetzt noch nicht warum aus deinem vorherigen Beispiel folgt das rational ist ... nur weil es mit multipliziert wird?

Solche Fragen führen bei mir nicht selten zu bissigen Bemerkungen. Aber heute übe ich mich in Zurückhaltung.

Bringe die entstandene Gleichung in die Form:



Dann siehst du, dass auf der rechten Seite nur rationale Terme stehen.
misaki Auf diesen Beitrag antworten »

lol sorry versteh ich . nur bei so komplizierten sachen überseh ich immer die einfachen dinge wenn sie vor mir stehen Hammer danke jedenfalls!!! Mit Zunge
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