Äquivalenzrelation für Gruppen |
10.12.2010, 19:37 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Äquivalenzrelation für Gruppen Ich mochte zeigen das folgende Relation eine Äquivalenzrelation auf Gruppen definiert: Seinen und Gruppen. Die Gruppen und sind äquivalent, also , wenn es Untergruppen und von endlichem Index gibt mit . Reflexitivität und Symmetrie sind relativ offensichtlich, aber der Transitivität komme ich nicht so recht weiter. Gelte also und . Aus und folgt die Existenz einer Untergruppe mit endlichem Index in und in , aber diese müssen ja nicht zwingen isomorph sein! Hat da jemand bitte eine Idee, mir fällt so gar nichts ein... da auch irgendwie so wenig vorausgesetzt ist was man irgendwie einbringen könnte? Viele Grüße |
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11.12.2010, 08:35 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schau dir mal den Schnitt von und an. |
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11.12.2010, 18:16 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo pseudo-nym, danke für deinen Tipp, aber leider sehen ich nicht so recht wie mich das weiter bringen könnte. Der Schnitt von kann folgendermaßen aussehen: Falls dann gilt also Falls dann gilt also oder dann ist der Schnitt weder zu noch zu isomorph. |
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11.12.2010, 18:33 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mit deiner Fallunterscheidung hab ich zwei Probleme: Der dritte Fall kann nicht eintreten, denn zwei Untergruppen können nicht disjunkt sein. Stattdessen müsstest du noch den Fall betrachten. Unabhängig davon brauchst du gar keine Fälle zu unterscheiden. Zeige lediglich, dass o.E. gilt ist Untergruppe von mit |
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11.12.2010, 19:13 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo pseudo-nym, also ich konnte zeigen das wieder eine Untergruppe ist. Deshalb kann natürlich nicht vorkommen, das neutrale Element aus ist auf jeden Fall enthalten. Das der Schnitt wieder endlichen Index hat kann ich glaube ich auch zeigen. Aber ich sehe immer noch nicht wie mir das helfen kann |
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11.12.2010, 19:18 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Schränke deine Isomorphismen entsprechend ein. |
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11.12.2010, 19:20 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
eine Untergruppe von mit ist, dann gilt diese Aussage auch für F anstatt G. Daraus folgt und du bist fertig. |
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11.12.2010, 19:23 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Off-Topic:
Die Aufgabe macht ja mal null Sinn... Mit dieser Äquivalenzrelation sind dann einfach alle Gruppen äquivalent, man beacht als Untergruppen jeweils das neutrale Element. q.e.d |
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11.12.2010, 19:29 | kiste | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Äquivalenzrelation für Gruppen
Nein gonnabphd, beachte das fett markierte. |
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11.12.2010, 19:32 | gonnabphd | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ahh, man sollte genau lesen, bevor man rummeckert. |
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11.12.2010, 20:57 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso, nun hab auch ich mich verschaut... ich versuche gerade zu zeigen dass eine Untergruppe von mit ist, warum sollte das auch eine Untergruppe von mit gelten? Ich meine es gilt doch also gilt , aber warum sollte das für gelten? |
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11.12.2010, 21:14 | pseudo-nym | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Mach dir klar, dass eine Untergruppe von ist. |
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11.12.2010, 21:59 | zwergnase | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Super , danke pseudo-nym nun habe ich alles zusammen, das war der entscheidende Tipp! Schönen Abend! |
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