Inverse Matrix von (A-B), A^x = E, B nilpotent

10.12.2010, 21:46

AlexG

Inverse Matrix von (A-B), A^x = E, B nilpotent

Meine Frage:
Hi,

ich bräuchte Hilfestellung bei folgender Aufgabe:

Es sind zwei quadratische Matrizen A,B (n x n) über einem Körper K gegeben. Desweiteren gilt:
Es existieren k, l (natürliche Zahlen), sodass:
$\begin{eqnarray*} A^{k} = E_{n} \end{eqnarray*}$ (Einheitsmatrix)
$\begin{eqnarray*} B^{l} = 0 \end{eqnarray*}$ => B nilpotent

Zu zeigen:
(A-B) ist invertierbar <=> AB = BA
Außerdem soll die Inverse angegeben werden.

Meine Ideen:
Zunächst mal ist denke ich diese Formel aus der vorherigen Teilaufgabe wichtig:

$\begin{eqnarray*} E_{n} - A^{m} = (E_{n} - A) (\sum\limits_{i=1}^{m-1}A_{i}) = (\sum\limits_{i=1}^{m-1}A_{i})(E_{n} - A) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} E_{n} \end{eqnarray*}$ ist nxn Einheitsmatrix und $\begin{eqnarray*} A^{0} = E_{n} \end{eqnarray*}$

Außerdem denke ich, dass am Ende der Herleitung irgendetwas in der Form

$\begin{eqnarray*} E_{n} = (A - B) (...) \end{eqnarray*}$ da stehen müsste, wobei dann (...) definitionsgemäß die Inverse darstellt.

Analog dazu geht auch die Herleitung der Inverse von $\begin{eqnarray*} E_{n} - B \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} E_{n} = E_{n} - B^{l} = (E_{n} - B)(\sum\limits_{i=1}^{l-1} B^{i}) \end{eqnarray*}$

Während die Inverse von A, wenn ichs richtig verstanden hab, einfach $\begin{eqnarray*} A^{k-1} \end{eqnarray*}$ bzw. ein beliebiges Vielfache von k abzüglich 1 ist. Hat mir aber bisher nicht viel geholfen, da es wohl keinen direkten Zusammenhang zwischen (A-B), (En - B)^-1 und A^-1 gibt.

Außerdem gilt nach der Formel für A^k (und A^(n*k), also beliebiges Vielfache von k):
$\begin{eqnarray*} 0 = E_{n} - A^{k} = (E_{n} - A)(\sum\limits_{i=1}^{m-1} A^{i}) \end{eqnarray*}$

Zur einfacheren Rechnung mit den Grenzen der Summen hatte ich mir überlegt, statt mit l und k zu rechnen das Produkt m = n*l zu bilden, da B^l = 0 für alle Potenzen größer l gilt und A^k = E für alle Vielfache von k.

Wegen der Bedingung AB=BA denke ich, dass in irgendeinem Rechenschritt AB-BA (oder eine Summe davon) vorkommt.

Allerdings habe ich das Gefühl, mich mit den Formeln ständig im Kreis zu drehen. Ich finde einfach keinen Ansatz um auf die o.g. Form E_n = (A-B)(...) zu kommen.

Vielen Dank schonmal für die Hilfe.

MfG,
Alex

11.12.2010, 23:05

Reksilat

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RE: Inverse Matrix von (A-B), A^x = E, B nilpotent
Hi Alex,

Zitat:

Außerdem denke ich, dass am Ende der Herleitung irgendetwas in der Form
$\begin{eqnarray*} E_{n} = (A - B) (...) \end{eqnarray*}$ da stehen müsste

Das ist schon mal ein guter Ansatz, wobei es ja reicht, zu konstruieren, dass $\begin{eqnarray*} (A-B)(...) \end{eqnarray*}$ eine invertierbare Matrix ist. Zum Beispiel ist ja jede Potenz von $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ invertierbar.

Rechne doch mal $\begin{eqnarray*} (A-B)(A+B) \end{eqnarray*}$ aus. Augenzwinkern

Gruß,
Reksilat.

12.12.2010, 12:20

AlexG

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Hi,

das wäre mit der Bedingung
$\begin{eqnarray*} AB=BA \end{eqnarray*}$
gerade
$\begin{eqnarray*} A^{2} - B^{2} \end{eqnarray*}$

Aber wie hilft mir das weiter?

Auf die Form

$\begin{eqnarray*} E_{n} = (A^{2} - B^{2})(...) \end{eqnarray*}$

bin ich bislang auch noch nicht gekommen. verwirrt

12.12.2010, 12:48

Reksilat

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Von der Form $\begin{eqnarray*} E_{n} = (A^{2} - B^{2})(...) \end{eqnarray*}$ habe ich doch auch gar nichts geschrieben. Immerhin kannst Du jetzt aber $\begin{eqnarray*} A^2-B^2 \end{eqnarray*}$ als $\begin{eqnarray*} (A-B)(...) \end{eqnarray*}$ schreiben.

Nun ist $\begin{eqnarray*} A^2-B^2 \end{eqnarray*}$ nicht unbedingt invertierbar - wenn allerdings $\begin{eqnarray*} l=2 \end{eqnarray*}$ ist, dann wäre das gerade $\begin{eqnarray*} A^2 \end{eqnarray*}$ und somit invertierbar. Vielleicht kannst Du das ganze ja allgemeiner fortsetzen.

12.12.2010, 14:30

AlexG

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Hm, angenommen l sei größer als k und gerade, dann wäre
$\begin{eqnarray*} A^{l} - B{l} = E_{n} = (A^{0.5l} - B^{0,5l}) (A^{0,5l} + B^{0,5l}) \end{eqnarray*}$

Aber nun hab ich doch keine Möglichkeit mehr, das $\begin{eqnarray*} (A - B) \end{eqnarray*}$ rauszuziehen, oder?

12.12.2010, 14:36

AlexG

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Hups, soll natürlich

$\begin{eqnarray*} A^{l} - B^{l} = E_{n} = (A^{0.5l} - B^{0,5l}) (A^{0,5l} + B^{0,5l}) \end{eqnarray*}$

sein.

Naja, wenn l eine Zweierpotenz wäre würde ich vielleicht eine Möglichkeit sehen, indem ich das $\begin{eqnarray*} (A^{0,5l} - B^{0,5l}) \end{eqnarray*}$ immer weiter auflöse, aber davon kann ich ja nicht ausgehen.

12.12.2010, 14:41

Reksilat

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Geh mal in die andere Richtung, also starte mit $\begin{eqnarray*} A-B \end{eqnarray*}$ und vergrößere die Potenzen immer. $\begin{eqnarray*} A^x \end{eqnarray*}$ ist für alle $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ invertierbar und $\begin{eqnarray*} B^x \end{eqnarray*}$ ist für genügend große $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ immer Null.

12.12.2010, 17:37

AlexG

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Also mit $\begin{eqnarray*} 2^{n} \geq k,l \end{eqnarray*}$

käme ich auf:

$\begin{eqnarray*} (A-B)(A+B)(A^{2} + B^{2})(A^{4} + B^{4}) ... (A^{2^{n-1}} + B^{2^{n-1}}) = A^{2^{n}} - B^{2^{n}} = A^{2^{n}} \end{eqnarray*}$

Stimmt das? Ließe sich das dann umformen zu

$\begin{eqnarray*} (A-B)(A+B)(A^{2} + B^{2})(A^{4} + B^{4}) ... (A^{2^{n-1}} + B^{2^{n-1}}) (A^{-2^{n}}) = A^{2^{n}} A^{-2^{n}} = A^{2^{n}-2^{n}} = E_{n} \end{eqnarray*}$

?

12.12.2010, 19:29

Reksilat

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Ja, so könnte man es machen. Denk daran, dass $\begin{eqnarray*} A^k=E \end{eqnarray*}$ ist und somit $\begin{eqnarray*} A^{-1}=A^{k-1} \end{eqnarray*}$ .

Gruß,
Reksilat.

13.12.2010, 16:05

AlexG

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Alles klar, vielen Dank für die Hilfe Freude

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