verschiedene Differentialgleichungen

11.12.2010, 13:32

Einheit21

verschiedene Differentialgleichungen

Hallo,

Ich muss für die Uni Differentialgleichungen lösen, jedoch weiß ich nicht wie ich das anstellen soll, für jede "Form" gibt es einen anderen Lösungs weg ...
Gibt es eine Möglichkeit sie alle gleich zu lösen ? oder wie weiß ich wie ich eine Diffgl. löse ?

a) y'=cos^2(x)*sin^2(y)
b) y'= x*e^(x^2-2y)
c) y' +y = sin x
d) y' - y/x =x^2
e) y' + [(1-2x)/x^2] *y = 1

Kann mir bitte irgendjemand helfen auch weitere DGL zu lösen?
Danke!

11.12.2010, 15:31

Cugu

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Zitat:

Gibt es eine Möglichkeit sie alle gleich zu lösen ?

Ja. Erst Trennung der Variablen um eine Lösung der zugehörigen homogenen Gleichung zu erhalten. Dann Variation der Konstanten.

http://de.wikipedia.org/wiki/Trennung_de...C3%A4nderlichen
http://de.wikipedia.org/wiki/Variation_der_Konstanten

11.12.2010, 16:29

Einheit21

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und wie mach ich das ?
kannst dus mir an einem der oberen Bsp. vielleicht erklären, das ich das dann auf die anderen anweden kann

danke

11.12.2010, 17:55

Cugu

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Durch einfache Umformungen kannst du alle gegebenen Differentialgleichungen in die Form $\begin{eqnarray*} y'=g(x)f(y)+b(x) \end{eqnarray*}$ bringen.
Die homogene Gleichung ist dann $\begin{eqnarray*} \tilde y'=g(x)f(\tilde y) \end{eqnarray*}$ . Du erhälst die Lösung durch Integrieren und Auflösen von $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{f(\tilde y)}d\tilde y = \int g(x)dx \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} \tilde y \end{eqnarray*}$ .

In a) musst du z.B. $\begin{eqnarray*} g(x)=\cos^2(x) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y)=\sin^2(y) \end{eqnarray*}$ einsetzen. Dann bist du schon fertig, da $\begin{eqnarray*} b(x)=0 \end{eqnarray*}$ ist.
(Variation der Konstanten wäre hier auch gar nicht möglich, da die Differentialgleichung nicht linear ist.)

In c) hingegen ist $\begin{eqnarray*} g(x)=-1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f(y)=y \end{eqnarray*}$ . Diese Differentialgleichung ist also linear in $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ .
Du berechnest zunächst die homogene Lösung $\begin{eqnarray*} \tilde y \end{eqnarray*}$ und benutzt dann die Formel zur Variation der Konstanten $\begin{eqnarray*} y(x) = \tilde y(x) \int \frac{b(x) }{\tilde y(x)} dx. \end{eqnarray*}$

11.12.2010, 19:58

Einheit21

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Vielen Dank!
Anscheinend stehe ich heute auf der Leitung, mir wirds schon klarer aber ganz durchschaut hab ichs noch nicht.

bei a)
sag ich dann g(x) = cos^2(x) und f(y) = sin^2(y) und b(x)=0 ist mir klar
dannn würde ich weiter schreiben:

Integral von 1/sin^2(y) dy = Integral cos^2(x) dx = bin dann auf

-cot(y) = 1/2 *[x + sin(x)*cox(x)] + c gekommen als ausrechnen des integrals

aber was mach ich dann ? nach y= umformen .... ich meine dieses Integral ist ja nicht sehr "schön" 2teres konnte ich nur durch ein Programm ausrechnen. aber wie gehe ich dann weiter vor ? ist das dann schon meine Lösung? Ist mein weg bis dahin richtig ?

und zu c)

wenn ich y' + y = sin(x) habe dann form ich um auf y' = sin(x) -y

du hast dann gesagt g(x) = -1 (wie kommst du auf das ? ) wäre g(x) nicht sin(x) ??

und wie erhalte ich das "y(x) quer " ??

Ja ich weiß bin grad ein schwieriger Fall, aber will das echt verstehen Hammer

11.12.2010, 21:01

Cugu

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Wenn dir die auftretenden Integrale nicht gefallen, dann beschwere dich beim Aufgabensteller...
Schreibt halt $\begin{eqnarray*} y=\operatorname{arccot}(...) \end{eqnarray*}$ .

Naja, du hast $\begin{eqnarray*} y'+y=\sin(x) \end{eqnarray*}$ gegeben. Vermutlich kannst du das nicht auf die Form $\begin{eqnarray*} y'=g(x)f(y) \end{eqnarray*}$ bringen. Also versucht du die Form $\begin{eqnarray*} y'=g(x)y+b(x) \end{eqnarray*}$ zu erhalten.
Das sind immer die beiden Möglichkeiten $\begin{eqnarray*} y'=g(x)f(y)+b(x) \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} f(y)=y \end{eqnarray*}$ oder mit $\begin{eqnarray*} b(x)=0 \end{eqnarray*}$ !
Also schreibst du die DGL als $\begin{eqnarray*} y'=(-1)\cdot y+\sin(x) \end{eqnarray*}$ . Und dann löst du zunächst $\begin{eqnarray*} \tilde y'=(-1)\cdot \tilde y \end{eqnarray*}$ genau wie in a).

11.12.2010, 21:07

Einheit21

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OK, das bedeutet bis zum Ausrechnen des Integrals stimmts smile

oki, das 2te werd ich mir gleich genauer ansehen aber beim ersten mal drüber lesen ist dies auch verständlich.
und wenn ich dann am "schluss" schreibe y= ..... dann ist dies meine Lösung für die DGL?

Vielen Dank für die Hilfe, ich werde gleich probieren die DGL's zu lösen

11.12.2010, 21:11

Cugu

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Naja, durch die freie Konstante ist es eine Menge von Lösungen. Aber alle Lösungen sind von der Form und alles sind Lösungen.

Wenn dir bei c) das Integral bei der VdK zu schwierig ist, dann löse zunächt $\begin{eqnarray*} y'+y=e^{ix} \end{eqnarray*}$ und bilde den Imaginärteil der Lösung.

11.12.2010, 21:32

Einheit21

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ach verdammt also das von a) hab ich jetzta verstanden
aber das mit dem b(x) is für mich noch etwas verwirrend überhaubt das "y quer" bringt mich vollkommen raus ...... unglücklich

y'= (-1) *y + sin(x) ist soweit verständlich

danach wie bei a) hab ich ein problem

wenn ich sag Integral 1/f(y) dy = Integral g(x) dx => Integral 1/y dy = Integral -1 dx

aber wo is dann bei b(x) ??

bzw. du hast geschrieben: Formel zur Variation der Konstanten $\begin{eqnarray*} y(x) = \tilde y(x) \int \frac{b(x) }{\tilde y(x)} dx. \end{eqnarray*}$

nur bitte was is dieses "y quer" .......

meinst du dann:

y= f(y)*g(x) * Integral b(x) / [f(y)*g(x) ] oder wie is das gemeint ??

11.12.2010, 21:44

Cugu

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Ich seh schon, der Versuch alles unter einen Hut zu bekommen verwirrt am Ende nur.

Also betrachten wir zwei Arten von Differentialgleichungen. Die Allgemeine Form ist aber weiterhin $\begin{eqnarray*} y'=g(x)f(y)+b(x) \end{eqnarray*}$ .

a) und b) gehören zur ersten Art. Diese Differentialgleichungen sind homogen, d.h. $\begin{eqnarray*} b(x)=0 \end{eqnarray*}$ . Die Lösung erhälst du durch $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{f( y)}d y = \int g(x)dx \end{eqnarray*}$ .

c), d), e) gehören zur zweiten Art. Diese Differentialgleichungen sind linear, d.h. $\begin{eqnarray*} f(y)=y \end{eqnarray*}$ . Die Lösung ist dann $\begin{eqnarray*} y(x) = e^{F(x) } \int e^{-F(x) } b(x) dx, \end{eqnarray*}$
wobei $\begin{eqnarray*} F(x) = \int g(x)dx \end{eqnarray*}$ ist.

----
Das alte $\begin{eqnarray*} \tilde y(x) \end{eqnarray*}$ war Lösung der homogenen Gleichung also $\begin{eqnarray*} \tilde y(x) = e^{F(x) } \end{eqnarray*}$ . Das erhält man aus $\begin{eqnarray*} \int \frac{1}{\tilde y}d \tilde y = \int g(x)dx \end{eqnarray*}$ .

----
Mir ist noch aufgefallen, dass man bei a) sehr genau aufpassen muss. Die Darstellung $\begin{eqnarray*} y=\operatorname{arccot}(...) \end{eqnarray*}$ erhält man nur, wenn $\begin{eqnarray*} y_0\in (0,\pi) \end{eqnarray*}$ ist.
Also lass es besser so stehen, wie du das hattest $\begin{eqnarray*} \cot(y)=... \end{eqnarray*}$ .
Außerdem gibt es noch die konstanten Lösungen $\begin{eqnarray*} y=k\pi, k\in \mathbb Z \end{eqnarray*}$ . Bei der Trennung der Variablen muss man natürlich aufpassen, ob der Term durch den man teil $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ sein könnte. Für den Anfang ist die Aufgabe eigentlich zu schwer...

11.12.2010, 22:10

Einheit21

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so das sollte ich jetzt verstanden haben, ich schreib dir mal meine "lösung" hin:

y'= -1 * y + sinx

g(x)= -1
f(y) = y
b(x) = sinx

F(x)= Integral -1 dx = -x + c1

y(x) = e^-x+c1 * Integral e^-x+c1 * sinx dx => wenn ich dieses "nette" Integral dann ausrechne komm ich auf y(x) = LÖSUNG und das wars dann ?

hab ich das so weit richtig verstanden ?

ja das die Integrale ein Wahnsinn sind für das das wirs grad "lernen" is halt leider so

vielen dank für die große hilfe Gott

mit den anderen sollte es ja genauso gehen
b) hab ich schon gelöst
jetzt stürz ich mich noch auf die "letzten" beiden und hoffe das da keine Überraschungen versteckt sind ....

nochmals vielen dank Freude

sorry wegen der schirchen art die formeln zu schreiben, aber auf diesem pc geht leider dieser formeleditor nicht unglücklich

11.12.2010, 22:23

Cugu

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Du musst zumindest Klammern setzen. So wie das da steht ist das falsch. Außerdem muss es einmal $\begin{eqnarray*} e^{-(-x)}=e^x \end{eqnarray*}$ heißen. Die Integrationskonstante bei $\begin{eqnarray*} F(x) \end{eqnarray*}$ kannst du (wie man sich leicht überlegen kann) weglassen.

$\begin{eqnarray*} e^{-x+c_1} \int e^{x-c_1} \cdot \sin x dx=e^{-x} \left( \int e^{x} \cdot \sin x dx+\operatorname{const}\right) \end{eqnarray*}$

11.12.2010, 22:29

Einheit21

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y(x) = e^(-x+c1) * Integral e^(-x+c1) * sin(x) dx =>

ja die klammern hab ich vergessen UND ich hab vergessen oder eher übersehen das da ein -F(x) steht ..... werd ich gleich in meiner rechnung ausbessern.

Danke smile

Ja das mit der Integrationskonstante war nur form halber smile

konnte die anderen Bsp. zumindest soweit Lösen bis ein Integral kam das ich dann nicht mehr oder nur mit viel aufwand bewältigen konnte
aber mir war mal wichtig zu verstehen wies geht, das mim Integral wird auch noch smile

vielen vielen dank

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