Newton-verfahren einer komplexen Funktion

11.12.2010, 16:57

Liz2103

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Newton-verfahren einer komplexen Funktion

Hallo!

Ich habe folgende Aufgabe:
man soll für eine Funktion $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ mit
(x,y)->(f_1(x,y),f_2(x,y)) das Newton Verfahren formulieren. Das war kein Problem. Nun sollte man dies mit dem Newton Verfahren $\begin{eqnarray*} z_{k+1}=z_k-\frac{f'(z_k)}{f(z_k)} \end{eqnarray*}$ vergleichen. Dabei soll f eine holomorphe Funktion sein, mit $\begin{eqnarray*} f=f_1+if_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} \end{eqnarray*}$

Ach ja und $\begin{eqnarray*} f_1,f_2:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$

Naja und das ist eigentlich auch schon das Problem, da ich für z das Newton-Verfahren gar nicht hin bekomme, da doch f'(z) ein Vektor ist (Gradient) oder nicht? und ich kann doch keinen Vektor invertieren, geschweige denn in den Nenner schreiben.
Kurzzeitig hatte ich die Idee, f nach x+y abzuleiten, aber das haute irgendwie auch nicht hin und außerdem müsste ich ja wenn überhaupt nach x+iy ableiten und das kam mir komisch vor.

Ich hoffe ihr habt mein Problem verstanden und könnt mir helfen.
Vielen Dank
lg Liz

P.S. Wenn mir nebenbei einer sagen könnte wie ich in LaTex Vektoren hin bekomme, wäre das schön.

11.12.2010, 18:18

Cugu

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$\begin{eqnarray*} f'(z) \end{eqnarray*}$ ist kein Vektor sondern eine komplexe Zahl $\begin{eqnarray*} w(z) \end{eqnarray*}$ und zwar diejenige, die $\begin{eqnarray*} f(z+h)-f(z)-w(z)h =o(|h|) \end{eqnarray*}$ erfüllt. Wenn das nicht ausgerechnet $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ ist, kann man die invertieren.

11.12.2010, 18:22

Liz2103

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Also müsste ich den Differenzenquotienten berechnen, bzw. die Funktion nach z (also der komplexen Zahl) ableiten oder?
Da stoße ich dann aber auf das Problem, was ich dann machen soll. Denn ich muss die Ableitung von f ja irgendwie mit f1 und f2 ausdrücken. Ich soll ja das mit dem anderen Newton-Verfahren vergleichen. Wie soll ich da weiter vorgehen?

11.12.2010, 18:27

Cugu

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Nach den Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen ist $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{C}\to \mathbb{C} \end{eqnarray*}$ genau dann komplex differenzierbar, wenn die Jacobi-Matrix der zugehörigen reellen Funktion $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f_1\\ f_2 \end{pmatrix} :\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ die Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ besitzt.

(wenn du die Formel kopierst oder mit der Maus drüber gehst, siehst du wie Vektoren gehen)

11.12.2010, 18:32

Liz2103

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okay. Das sehe ich ein. Ich weiß nur leider nicht wie mir das weiterhelfen soll. Denn damit kriege ich das Problem mit der Ableitung von f immer noch nicht weiter in den Griff. Denn f ist ja f1+i*f2. Aber wenn ich das einsetze kann ich nicht ableiten und wenn ichs nicht einsetze und zuerst ableite kann ichs nicht ableiten. Oder?
(Danke für die LaTex hilfe)

11.12.2010, 18:42

Cugu

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Wenn $\begin{eqnarray*} f=f_1+if_2 \end{eqnarray*}$ ist, dann ist sicherlich $\begin{eqnarray*} f'=f_1'+if_2' \end{eqnarray*}$ .

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11.12.2010, 18:48

Liz2103

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Und genau da liegt mein Problem, denn z.Bsp. $\begin{eqnarray*} f_1:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R} \end{eqnarray*}$ also erhalte ich als Ableitung den Gradienten, einen Vektor. Den kann ich aber nicht invertieren. oder wie soll ich f1 sonst ableiten?

11.12.2010, 18:56

Cugu

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Naja, du kannst doch (falls die Cauchy-Riemannschen Differentialgleichungen erfüllt sind) die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \partial_x f_1 & \partial_y f_1\\ \partial_x f_2& \partial_yf_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ mit der komplexen Zahl $\begin{eqnarray*} \partial_x f_1+\partial_x f_2 i \end{eqnarray*}$ identifizieren.

Wie hast du das Verfahren, denn überhaupt im Fall $\begin{eqnarray*} g:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ formuliert?

11.12.2010, 19:03

Liz2103

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aha. Ich verstehe nur nich, was du da wie eingesetzt hast. deine Spalten sind jetzt realteil bzw. Imaginärteil? oder wie kommst du von der komplexen Zahl zur Matrix?

11.12.2010, 19:12

Liz2103

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$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{k+1}\\ y_{k+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{k+1}\\ y_{k+1} \end{pmatrix}-\frac{1}{\partial x f_1 \cdot \partial y f_2-\partial y f_1\cdot \partial x f_2}\cdot\begin{pmatrix} \partial yf_2 & -\partial y f_1\\ -\partial x f_2 & \partial x f_1 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} f_1\\ f_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
So habe ich das Newton Verfahren für g definiert. Naja die hintere Multiplikation könnte ich noch ausführen und dann die erste Zeile für realteil, bzw. die zweite Zeile für Imaginärteil aufschreiben.

11.12.2010, 19:34

Cugu

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Hm, also was man zeigen kann, ist folgendes:
Wenn man das komplexe Newtonverfahren mit dem Wert $\begin{eqnarray*} z_k=x_k+iy_k \end{eqnarray*}$ startet, dann landet man bei $\begin{eqnarray*} z_{k+1}=x_{k+1}+i y_{k+1} \end{eqnarray*}$ .
Mit anderen Worten, das Ergebnis ist dasselbe wie beim reellen Newtonverfahren. Möglicherweise soll man genau das zeigen.

Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ holomorph ist, dann ist die reelle Jacobi-Matrix von der Form $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
Das Verfahren lässt sich also als $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} x_{k+1}\\ y_{k+1} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} x_{k}\\ y_{k} \end{pmatrix}-\frac{1}{a^2+b^2}\cdot\begin{pmatrix} af_1 + bf_2\\ -bf_1 + af_2 \end{pmatrix}\ \end{eqnarray*}$ schreiben.

Wenn man das im Komplexen schreibt erhält man
$\begin{eqnarray*} z_{k+1}=x_{k+1}+ i y_{k+1} = x_{k}+ i y_{k} -\frac{1}{a^2+b^2}\cdot \Big(( af_1 + bf_2) +i (-bf_1 + af_2)\Big)=x_{k}+ i y_{k}- \frac{f_1+if_2}{a+ib} =z_k-\frac{f}{a+ib} \end{eqnarray*}$ .

Jetzt ist nur noch zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} a+ib \end{eqnarray*}$ die komplexe Ableitung ist.
Das kann man sich doch überlegen, wenn man $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix}\begin{pmatrix} h_1\\ h_2 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} (a+ib)(h_1+ih_2) \end{eqnarray*}$ ausrechnet.

11.12.2010, 19:58

Liz2103

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also du hast zuerst das verfahren für g hingeschrieben, dann z_k+1 mit xk und yk ersetzt und erhälst das das Newton verfahren für zk, wobei noch zu prüfen wäre, das a+ib die Ableitung von f ist. Ist das soweit richtig?

Und warum ist a+ib nun die komplexe Ableitung von f? Den teil habe ich leider nicht verstanden.

11.12.2010, 20:01

Liz2103

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Also das die beiden letzten Terme gleich sind verstehe ich. Das kann man ja leicht prüfen durch ausrechnen. Aber was stellen die Terme dar? das habe ich nich ganz begriffen.

11.12.2010, 20:14

Cugu

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Naja sei $\begin{eqnarray*} A=\begin{pmatrix} a & -b\\ b & a \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Und sei $\begin{eqnarray*} w=a+ib \end{eqnarray*}$ .
Ich behaupte, dass dann
$\begin{eqnarray*} f(z+h)-f(z)-wh =o(|h|) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} f(x+h_1,y+h_2)-f(x,y)-Ah =o(||h||) \end{eqnarray*}$
für $\begin{eqnarray*} z=x+iy \end{eqnarray*}$ äquivalent sind.

Ist also $\begin{eqnarray*} A \end{eqnarray*}$ die reelle Jacobi-Matrix dann muss $\begin{eqnarray*} w \end{eqnarray*}$ die komplexe Ableitung sein und umgekehrt.

11.12.2010, 20:23

Liz2103

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ah ja. und h ist sozusagen die Variable nach der abgeleitet wird oder? mit $\begin{eqnarray*} h=\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} h=h_1+ih_2 \end{eqnarray*}$

Dann brauche ich ja nur noch gleichsetzen und erhalte die obige Gleichung, die ja stimmt.

Und im Endeffekt erhalte ich dann, das es egal ist ob ich das Newton Verfahren im Komplexen aufstelle oder halt im R^2 oder?

11.12.2010, 20:34

Cugu

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Zitat:

mit $\begin{eqnarray*} h=\begin{pmatrix}h_1\\h_2\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} h=h_1+ih_2 \end{eqnarray*}$

Ja, genau. Das ist immer gut, wenn man Sachen schlampig aufschreibt und sie trotzdem verstanden werden...

Zitat:

h ist sozusagen die Variable nach der abgeleitet wird oder?

Nein. $\begin{eqnarray*} h \end{eqnarray*}$ ist eine komplexe Zahl bzw. ein Vektor der gegen $\begin{eqnarray*} 0 \end{eqnarray*}$ geht...
Es wird dort die totale Ableitung von $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{R}^2\rightarrow\mathbb{R}^2 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} f:\mathbb{C}\rightarrow\mathbb{C} \end{eqnarray*}$ gebildet.
In der Aufgabe heißt die eine Funktion $\begin{eqnarray*} g \end{eqnarray*}$ , aber die Unterscheidung ist mir zu umständlich...

Zitat:

Und im Endeffekt erhalte ich dann, das es egal ist ob ich das Newton Verfahren im Komplexen aufstelle oder halt im R^2 oder?

Ja, man sieht, dass in beiden Fällen dasselbe herauskommt. Allerdings ist es natürlich weniger aufwändig, wenn man mit komplexen Zahlen statt mit Matrizen rechnet.
Wenn man beide Verfahren implementiert, wird man einen entsprechenden Zeitunterschied merken.

11.12.2010, 20:40

Liz2103

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Ja Super! Ich glaube bei mir ist der Groschen gefallen. Schön. Vielen vielen lieben Dank.
Die Aufgabe, das zu implementieren wird wohl nächste Woche kommen smile

smile

Wünsche dir noch einen schönen Rest-Sonnabend.
Lg Liz

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