Quotientenraum

11.12.2010, 18:36

G0rd0nGeKK0

Quotientenraum

Sei $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ ein Körper und $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ ein endlichdimensionaler $\begin{eqnarray*} \mathbb K \end{eqnarray*}$ -Vektorraum. Sei ferner B $\begin{eqnarray*} \subseteq V \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} U \leq V \end{eqnarray*}$ ein Unterraum.

Zeigen Sie:
Es gibt eine Teilmenge B' $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ B derart, dass $\begin{eqnarray*} \{v+U| v \in B' \} \end{eqnarray*}$ eine Basis von $\begin{eqnarray*} V_{U} \end{eqnarray*}$ ist. $\begin{eqnarray*} V_{U} \end{eqnarray*}$ = Quotientenraum.

11.12.2010, 18:41

kiste

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Da fehlt ein einzelnes Zeichen bei $\begin{eqnarray*} \subseteq U \end{eqnarray*}$ noch?

Spontan würde ich es irgendwie mit dem Basisaustauschsatz versuchen.

11.12.2010, 18:48

G0rd0nGeKK0

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Habs korrigiert. Basisaustauschsatz hmm, diese Aufgabe ist wirklich nicht so leicht. Ich probier mal was. verwirrt

Ist B' denn hier unsere duale Basis??

11.12.2010, 19:04

kiste

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Wie definierst du duale Basis?

Habs nochmal etwas länger durchdacht, der Austauschsatz sollte funktionieren. Dieser liefert ja zunächst nur für einen Vektor einen Austausch, aber das kannst du auf eine Basis C von U erweitern.
$\begin{eqnarray*} B'\cup C \end{eqnarray*}$ ist dann eine Basis von V, damit bist du fertig(modulo aller Details die ich weggelassen hab Augenzwinkern

11.12.2010, 22:57

G0rd0nGeKK0

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Ok hab die Aufgabe gelöst. Man muss einfach zeigen, dass die Basis von V / U aus linear unabhängigen Vektoren besteht.

Aber nun zu folgendem:

Sei $\begin{eqnarray*} V = R^{n} \end{eqnarray*}$ und B $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \Biggl\{\begin{pmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix},...,\begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ . \\ . \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix}\Biggl \} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subseteq V \end{eqnarray*}$ die Standardbasis. Finden Sie für folgende Unterräume $\begin{eqnarray*} U_i\leq V \end{eqnarray*}$ je eine Teilmenge
$\begin{eqnarray*} B'_{i} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \subseteq \end{eqnarray*}$ B, welche die in (a) beschriebene Eigenschaft hat, also die Eigenschaft, die ich oben in der Aufgabestellung hingeschrieben habe.

$\begin{eqnarray*} U_1 = span\Biggl\{\begin{pmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ .\\ . \\ 1 \end{pmatrix}\Biggl \} \end{eqnarray*}$

Also ich weiß, dass man hier rechnen muss, aber wie muss mein LGS aussehen?

11.12.2010, 23:35

kiste

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Zitat:

Original von G0rd0nGeKK0
Ok hab die Aufgabe gelöst. Man muss einfach zeigen, dass die Basis von V / U aus linear unabhängigen Vektoren besteht.

Und ich dachte immer das ist ein Teil der Definition von Basis Augenzwinkern

Laut meiner Beweisskizze ist jede von der Kardinalität richtige Teilmenge B_1' von B hier möglich, also musst du gar nichts rechnen.

11.12.2010, 23:47

G0rd0nGeKK0

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Und was genau hast du grad gezeigt? Big Laugh

Komisch, immer wenn ich spans und Basen sehe, denke ich , dass ich rechnen muss Big Laugh

12.12.2010, 00:13

kiste

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Naja gezeigt hab ich gar nichts. Ich hab dir ne Beweisskizze geliefert, dass jede Menge $\begin{eqnarray*} B \setminus \{e_i\} \end{eqnarray*}$ mit e_i den Standardbasisvektoren eine gewünschte Menge $\begin{eqnarray*} B_1' \end{eqnarray*}$ liefert

12.12.2010, 00:16

G0rd0nGeKK0

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Aber B ist doch die Standardbasis, wenn ich davon die Standardbasisvektoren abziehe, hat man doch die leere Menge Big Laugh

12.12.2010, 00:26

kiste

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Deswegen hab ich ja nur einen abgezogen.

12.12.2010, 00:28

G0rd0nGeKK0

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und wenn wir den Standardbasisvektor abgezogen haben; Was haben wir denn jetzt erreicht, um nochmal auf den span zurückzukommen??