Alle Vektoren x bestimmen?

12.12.2010, 12:25

bandchef

Alle Vektoren x bestimmen?

Hi Leute!

Ich soll folgende Aufgabe machen:

Es seien $\begin{eqnarray*} \vec{A} = \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & -2\\ 3 & 7 & 6 & -5 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \vec{b} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Es soll nun die lin. Abbildung $\begin{eqnarray*} \vec{x} \mapsto A\vec{x} \end{eqnarray*}$ mit untersucht werden.

Bestimmen sie alle Vektoren $\begin{eqnarray*} \vec{x} \end{eqnarray*}$ , die auf den Nullvektor abgebildet werden.

Ich weiß bei der Aufgabe irgendwie nicht so recht wie ich da rangehen soll. Den Vektor x soll ich ja anscheinend suchen. Aber wie? Wie ich diesen Vektor suchen soll sagt mir wahrhscheinlich aber das hier: $\begin{eqnarray*} \vec{x} \mapsto A\vec{x} \end{eqnarray*}$ . Mit dem kann ich aber auch nicht viel anfangen.

Ich hab mir trotzdem mal genaueuer Gedanken gemacht. Da es ja eine Abbildung und ich alle Vektoren x finden soll die auf den Nullvektor abbilden, dann könnte es ja so aussehen, oder?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & 1 & 3 & -2\\ 3 & 7 & 6 & -5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Jetzt könnte ich ja den Gauß-Algo anwenden. Aber nach was soll ich dann auflösen? Wenn ich den Gauß-Algo angewendet habe, und vielleicht eine Zeilenstufenform hergestellt habe, dann bekomm ich ja schon mal ein nicht eindeutiges lin. Gls, da das lin. Gls wie es oben steht ja mehr Variablen als Gleichungen beinhaltet! Da weiß ich dann auch wieder nicht mehr weiter!

Also, wie ihr seht gibts da bei mir Fragen über Fragen und ich benötige da grad eure Hilfe! Vielleicht könnt ihr mir ja ein bisschen auf die Sprünge helfen?

12.12.2010, 12:40

klarsoweit

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RE: Alle Vektoren x bestimmen?
Erstmal scheint das eher Hochschulmathe zu sein. Und zweitens ist der Gauß-Algorithmus durchaus die richtige Methode. Wenn du diesen vollständig kennen würdest, dann sagt dieser dir auch, wie man eine Basis des Lösungsraums bestimmen kann.

12.12.2010, 12:41

bandchef

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Ich hab dann jetzt schon mal den Gauß-Algo durchgemacht und soweit gerechnet, bis ich Zeilenstufenform erreicht habe. Das sieht so aus:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Da kann ich ja jetzt folgendes draus machen:

$\begin{eqnarray*} x_1+3x_2+4x_3-3x_4=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_2-6x_3+4x_4=0 \end{eqnarray*}$

Daraus kann ich jetzt die Lösungsmenge bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{(-3x_2-4x_3+3x_4, 3x_3+2x_4, x_3, x_4)|x_3, x_4\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

12.12.2010, 15:07

bandchef

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Bei einer weiteren Teilaufgabe b) ist nun noch gefragt, ob der Vektor $\begin{eqnarray*} \vec{b}= \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ in der Bildmenge liegt.

Ich hab hier jetzt dann wieder den gauß-algo durchgemacht. Ich bekomme dann folgendes Ergebnis:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix} \Leftrightarrow \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_1+3x_2+4x_3-3x_4=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -2x_2-6x_3+4x_4=4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 0=1 \Rightarrow \text{Widerspruch!!!} \Rightarrow \vec{b} \text{ ist nicht in Bildmenge!} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit korrekt?

12.12.2010, 15:14

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Daraus kann ich jetzt die Lösungsmenge bestimmen:

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{(-3x_2-4x_3+3x_4, 3x_3+2x_4, x_3, x_4)|x_3, x_4\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Ist das soweit richtig?

Die Schreibweise ist ungwöhnlich und hat auch noch einen Vorzeichenfehler in der 2. Komponente. Besser ist, du setzt einmal x_3 = 1 und x_4 = 0 und einmal x_3 = 0 und x_4 = 1 und bestimmst daraus die Lösungen. Diese bilden dann eine Basis.

12.12.2010, 16:33

bandchef

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So jetzt sollte zumindestens schon mal der Vorzeichenfehler weg sein:

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{(-3x_2-4x_3+3x_4, -3x_3+2x_4, x_3, x_4)|x_3, x_4\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Besser ist, du setzt einmal x_3 = 1 und x_4 = 0 und einmal x_3 = 0 und x_4 = 1 und bestimmst daraus die Lösungen. Diese bilden dann eine Basis.

Diesen Teil deiner letzten Antwort hab ich nicht so verstanden. Warum und woher soll ich wissen, dass ich einmal x_3 = 1 und x_4 = 0 und einmal x_3 = 0 und x_4 = 1 setzen soll und daraus die Lösungen bestimmen kann?

12.12.2010, 17:07

klarsoweit

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Das sagt eben der Gauß-Algorithmus. Wenn eine Matrix in Zeilenstufenform ist - also sowas:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 3 & 4 & -3 \\ 0 & -2 & -6 & 4\\ 0 & 0 & 0 & 0\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

dann entsprechen die nicht-freien Variablen den Spalten zu den ersten Nicht-Null-Elementen einer Zeile. Hier sind das die ersten beiden Spalten. Demzufolge sind x3 und x4 frei wählbar und das macht man so, daß man jeweils eine Variable gleich 1 wählt und die restlichen gleich Null.

12.12.2010, 17:08

bandchef

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Darf ich dann auch so schreiben,

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{(x_1, x_2, 9(x_3-x_4), -3x_3+2x_4)|x_3, x_4\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

oder ist das genauso schwachsinn?

12.12.2010, 17:11

klarsoweit

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Ich möchte von dieser Schreibweise weg, weil sie einfach nicht üblich ist. Ich wüßte auch nicht, was da jetzt besser geworden ist.

Und ich wiederhole nochmal die Frage, ob das Schulmathe ist.

12.12.2010, 17:41

bandchef

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Nein, das ist keine Aufgabe einer Schule, sondern einer FH und hab mich dann anscheinend diesbezüglich im Subforum vertan was mir leid tut.

Zurück zur aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x_3=1, x_4=0 \Rightarrow x_1=-3x_2-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=0, x_4=1 \Rightarrow x_2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{(-3x_2-4, 2, x_3, x_4))|x_3, x_4\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Hast du dann so gemeint?

Edit:

Zitat:

... zu den ersten Nicht-Null-Elementen einer Zeile.

Was meinst du hiermit? Ich weiß nicht was ein Nicht-Null-Element sein soll. Ich kene nur die Begrifflichkeiten: Pivot-Spalte, Pivot-Element, Basis-Variable, freie Variable, erweiterte Koeffizientenmatrix!

13.12.2010, 08:56

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Zurück zur aufgabe:

$\begin{eqnarray*} x_3=1, x_4=0 \Rightarrow x_1=-3x_2-4 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} x_3=0, x_4=1 \Rightarrow x_2=2 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{(-3x_2-4, 2, x_3, x_4))|x_3, x_4\in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Hast du dann so gemeint?

Nein. Ist das denn so schwer? verwirrt

$\begin{eqnarray*} x_3=1, x_4=0 \Rightarrow x_2=-3 \text{ und } x_1=5 \end{eqnarray*}$

Das ergibt also den 1. Lösungsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} x_3=0, x_4=1 \Rightarrow x_2=2 \text{ und } x_1=-3 \end{eqnarray*}$

Somit erhalten wir den 2. Lösungsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Als Lösungsmenge schreibt man: $\begin{eqnarray*} \mathbb L = \{(x_1, x_2, x_3, x_4) \in R^4 | \begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{pmatrix} = a \cdot \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \\ 1 \\ 0 \end{pmatrix} + b \cdot \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} a, b \in \mathbb R\} \end{eqnarray*}$

Zitat:

Original von bandchef
Edit:

Zitat:

... zu den ersten Nicht-Null-Elementen einer Zeile.

Was meinst du hiermit? Ich weiß nicht was ein Nicht-Null-Element sein soll.

Ein Nicht-Null-Element einer Matrix ist ein Element einer Matrix, das nicht Null ist. Augenzwinkern

13.12.2010, 17:56

bandchef

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Entschuldigung für meine Beschränktheit, aber wie zum Teufel kommst du darauf:

$\begin{eqnarray*} x_3=1, x_4=0 \end{eqnarray*}$

Und die erste Antwort von dir auf das erste Mal dieser Frage, dass das der Gauß-Algo sagt, bringt mir leider nicht so allzuviel :-(

Aber gut, wenn es der Gauß-Algo sagt, dann mach ich das einfach mal so. Aber in welcher Zeile muss ich dann $\begin{eqnarray*} x_3=1, x_4=0 \end{eqnarray*}$ setzen um auf $\begin{eqnarray*} x_1, x_2 \end{eqnarray*}$ zu kommen?

Edit1: Ich versuch mir mal meine eigene Frage zu beantworten: Da ja nun
$\begin{eqnarray*} x_3=1, x_4=0 \end{eqnarray*}$ kann ich diese ja in Zeile 2 einsetzen und kann mir dann $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ berechnen. Jetzt weiß $\begin{eqnarray*} x_2, x_3, x_4 \end{eqnarray*}$ und kann mir nun über die Zeile 1 $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ berechnen, stimmts?

Edit2: Da ich nun mit meinem eigenen obigen Ansatz auf deinen 1. Lösungsvektor gekommen bin, bleibt mir wirklich nur noch die Frage offen, warum man laut dem Gauß-Algo im 1. Schritt die erste freie Variable $\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$ und die zweite freie Variable $\begin{eqnarray*} x_4=0 \end{eqnarray*}$ setzt und im 2. Schritt die erste freie Variable $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ und die zweite freie Variable $\begin{eqnarray*} x_4=1 \end{eqnarray*}$ setzt. Das hab ich noch nicht durchblickt...

Edit3:

Zitat:

Somit erhalten wir den 2. Lösungsvektor $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -3 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Sollte der 2. Lösungsvektor nicht so lauten: $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -9 \\ 2 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Ich hab da stehen:
$\begin{eqnarray*} \text{für: }x_2=2; x_3=0; x_4=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=-3x_2-4x_3-3x_4 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=-3*2-4*0-3*1 = -9 \end{eqnarray*}$

Danke für deine Mühe!

13.12.2010, 18:43

klarsoweit

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Zitat:

Original von bandchef
Edit1: Ich versuch mir mal meine eigene Frage zu beantworten: Da ja nun
$\begin{eqnarray*} x_3=1, x_4=0 \end{eqnarray*}$ kann ich diese ja in Zeile 2 einsetzen und kann mir dann $\begin{eqnarray*} x_2 \end{eqnarray*}$ berechnen. Jetzt weiß $\begin{eqnarray*} x_2, x_3, x_4 \end{eqnarray*}$ und kann mir nun über die Zeile 1 $\begin{eqnarray*} x_1 \end{eqnarray*}$ berechnen, stimmts?

Ja.

Zitat:

Original von bandchef
Edit2: Da ich nun mit meinem eigenen obigen Ansatz auf deinen 1. Lösungsvektor gekommen bin, bleibt mir wirklich nur noch die Frage offen, warum man laut dem Gauß-Algo im 1. Schritt die erste freie Variable $\begin{eqnarray*} x_3=1 \end{eqnarray*}$ und die zweite freie Variable $\begin{eqnarray*} x_4=0 \end{eqnarray*}$ setzt und im 2. Schritt die erste freie Variable $\begin{eqnarray*} x_3=0 \end{eqnarray*}$ und die zweite freie Variable $\begin{eqnarray*} x_4=1 \end{eqnarray*}$ setzt. Das hab ich noch nicht durchblickt...

Entweder nimmst du das als Regel des Gauß-Algorithmus hin oder du mußt dir eine Vorlesung über lineare Algebra reinziehen, wo das ausführlichst behandelt wird.

Zitat:

Original von bandchef
Ich hab da stehen:
$\begin{eqnarray*} \text{für: }x_2=2; x_3=0; x_4=1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x_1=-3x_2-4x_3-3x_4 \end{eqnarray*}$

Richtig ist: $\begin{eqnarray*} x_1=-3x_2-4x_3+3x_4 \end{eqnarray*}$ smile

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