Banale Frage bzgl. Abbildungsmatrix

12.12.2010, 15:34

Ibn Batuta

Banale Frage bzgl. Abbildungsmatrix

Hi,

gegeben ist eine lineare Abbildung $\begin{eqnarray*} f: \mathbb{R}^2 \rightarrow \mathbb{R}^2 \text{ mit } f(x,y)=(x+y, x) \end{eqnarray*}$ .

Ich soll nun die darstellende Matrix von $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ bezüglich der Basen $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ bestimmen, wobei $\begin{eqnarray*} e_1=(1,0) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} e_2=(0,1) \end{eqnarray*}$ ist.

Ich verstehe das nun nicht. Wofür sind zweimal dieselbe Familie an Basen vorgegeben?

Es heißt doch einfach:

$\begin{eqnarray*} f(e_1) = (1,1)<br /> f(e_2) = (1,0) \end{eqnarray*}$

Die darstellende Matrix ist doch dann:

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1& 1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ist das so korrekt?

Was würde sich denn ändern, wenn man die darstellende Matrix von f bezüglich der Basen $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \{(1,4),(2,3)\} \end{eqnarray*}$ bestimmen soll?

Danke.

Ibn Batuta

12.12.2010, 15:48

Iorek

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Um die Abbildungsmatrix zu bestimmen, brauchst du immer eine Basis des Definitions- und eine Basis des Bildbereichs, in diesem Beispiel werden beide Male die Standardbasen gewählt.

Wie es sich ändern würde: rechne es doch aus. Augenzwinkern

12.12.2010, 15:49

system-agent

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Dann musst du die Bilder der Basisvektoren, also zb $\begin{eqnarray*} f(e_1) \end{eqnarray*}$ ausdrücken als Linearkombination der Basis $\begin{eqnarray*} \{(1,4),(2,3)\} \end{eqnarray*}$ .

Bedenke, das was du hier für einen Vektor schreibst, ist strenggenommen immer der Koordinatenvektor bezüglich einer gewählten Basis. Ganz ausführlich müsste man schon anstatt
$\begin{eqnarray*} (1,4) \end{eqnarray*}$ genauer $\begin{eqnarray*} v_1=1\cdot e_1+4\cdot e_2 \end{eqnarray*}$ schreiben, dh. $\begin{eqnarray*} (1,4) \end{eqnarray*}$ ist der Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bzgl der Basis $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ .

Bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \{(1,4),(2,3)\} \end{eqnarray*}$ hätte der Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ dann die Koordinaten $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ .

12.12.2010, 15:53

jester.

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Das ist auch der Punkt, in dem der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ als "Anfängervektorraum" nachteilig ist: Vektoren und Koordinatenvektoren stimmen überein.
Vielleicht versteht man das Prinzip besser, wenn man es mal an einem anderen Vektorraum ausprobiert?

12.12.2010, 15:58

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von jester.
Das ist auch der Punkt, in dem der $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}^n \end{eqnarray*}$ als "Anfängervektorraum" nachteilig ist: Vektoren und Koordinatenvektoren stimmen überein.
Vielleicht versteht man das Prinzip besser, wenn man es mal an einem anderen Vektorraum ausprobiert?

Kannst du mir hierfür ein Beispiel geben? Das wäre cool!

Ibn Batuta

12.12.2010, 15:58

system-agent

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Dann würde ich den Vektorraum der Polynome [bis zu einem gewissen Grad] vorschlagen.

12.12.2010, 15:59

Ibn Batuta

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Stimmt meine Abbildungsmatrix, die ich oben angegeben habe?

Zitat:

Original von system-agent
Dann musst du die Bilder der Basisvektoren, also zb $\begin{eqnarray*} f(e_1) \end{eqnarray*}$ ausdrücken als Linearkombination der Basis $\begin{eqnarray*} \{(1,4),(2,3)\} \end{eqnarray*}$ .

Bedenke, das was du hier für einen Vektor schreibst, ist strenggenommen immer der Koordinatenvektor bezüglich einer gewählten Basis. Ganz ausführlich müsste man schon anstatt
$\begin{eqnarray*} (1,4) \end{eqnarray*}$ genauer $\begin{eqnarray*} v_1=1\cdot e_1+4\cdot e_2 \end{eqnarray*}$ schreiben, dh. $\begin{eqnarray*} (1,4) \end{eqnarray*}$ ist der Koordinatenvektor von $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ bzgl der Basis $\begin{eqnarray*} \{e_1,e_2\} \end{eqnarray*}$ .

Bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} \{(1,4),(2,3)\} \end{eqnarray*}$ hätte der Vektor $\begin{eqnarray*} v \end{eqnarray*}$ dann die Koordinaten $\begin{eqnarray*} (1,0) \end{eqnarray*}$ .

Hm... Wo bleibt denn meine Abbildungsvorschrift? Wie kommt die ins Spiel?

Ibn Batuta

12.12.2010, 16:04

jester.

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Ein einfach zu berechnendes Beispiel ist wohl die Abbildung, die jedem Polynom seine formale Ableitung zuordnet, also $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}[X] ~: ~\sum_{k=0}^n a_k X^k \mapsto \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} \end{eqnarray*}$ .
Berechne doch mal im Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]_{\leq 2} \end{eqnarray*}$ , also dem Raum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2 die Darstellungsmatrix dieser Abbildung bezüglich einer beliebigen Kombination der folgenden Basen:
$\begin{eqnarray*} B_1:=(1,X,X^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_2:=(1,X^2+X,X^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_3:=(1+X,1+X^2,X) \end{eqnarray*}$ .

12.12.2010, 16:04

system-agent

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@Ibn Batuta
Deine Frage kann ich nicht nachvollziehen.
Übrigens, dass man die Abbildungsvorschrift so schreiben kann wie du es getan hast, muss man bereits Basen im Urbild- und Zielraum gewählt haben. Das $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} y \end{eqnarray*}$ bezeichnet hier schliesslich den [Koordinaten-]Vektor $\begin{eqnarray*} (x,y) \end{eqnarray*}$ , also den Vektor $\begin{eqnarray*} x\cdot e_1+y\cdot e_2 \end{eqnarray*}$ .

12.12.2010, 16:47

Ibn Batuta

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Zitat:

Original von jester.
Ein einfach zu berechnendes Beispiel ist wohl die Abbildung, die jedem Polynom seine formale Ableitung zuordnet, also $\begin{eqnarray*} \mathbb{K}[X] \to \mathbb{K}[X] ~: ~\sum_{k=0}^n a_k X^k \mapsto \sum_{k=1}^n ka_k X^{k-1} \end{eqnarray*}$ .
Berechne doch mal im Raum $\begin{eqnarray*} \mathbb{R}[X]_{\leq 2} \end{eqnarray*}$ , also dem Raum der Polynome vom Grad kleiner oder gleich 2 die Darstellungsmatrix dieser Abbildung bezüglich einer beliebigen Kombination der folgenden Basen:
$\begin{eqnarray*} B_1:=(1,X,X^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_2:=(1,X^2+X,X^2) \end{eqnarray*}$ , $\begin{eqnarray*} B_3:=(1+X,1+X^2,X) \end{eqnarray*}$ .

$\begin{eqnarray*} B_1:=(1,X,X^2)\xrightarrow{\text{differenziere}}(0,1,2X) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 2X+1 \end{eqnarray*}$

Und $\begin{eqnarray*} 2X+1 \end{eqnarray*}$ muß ich nun durch die Basisvektoren $\begin{eqnarray*} B_i \end{eqnarray*}$ darstellen können (wenn ja, wie mache ich das geschickt schnell?) und ich hätte meine erste Spalte der Abbildungsmatrix?

Ibn Batuta

12.12.2010, 17:31

system-agent

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Zitat:

Original von Ibn Batuta
$\begin{eqnarray*} B_1:=(1,X,X^2)\xrightarrow{\text{differenziere}}(0,1,2X) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} 2X+1 \end{eqnarray*}$

Diese Zeile ist ziemlich sinnfrei. Nennen wir die Ableitungsabbildung mal $\begin{eqnarray*} d \end{eqnarray*}$ . Dann ist also $\begin{eqnarray*} d(1)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(X)=1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} d(X^2)=2X \end{eqnarray*}$ , das hast du richtig gemacht.
Nun drücke diese drei Bildvektoren bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ aus.
Daraus kriegst du dann die zugehörigen Koordinatenvektoren bezüglich dieser Basis.

Dann dasselbe mit $\begin{eqnarray*} B_2 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} B_3 \end{eqnarray*}$ .

12.12.2010, 17:54

Ibn Batuta

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Verstehe das hinten und vorne nicht.
Aus Wiki: http://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Abb...bbildungsmatrix
Für jeden Basisvektor $\begin{eqnarray*} b_j \end{eqnarray*}$ aus $\begin{eqnarray*} B \end{eqnarray*}$ lässt sich der Bildvektor $\begin{eqnarray*} f(b_j) \end{eqnarray*}$ als Linearkombination der Basisvektoren $\begin{eqnarray*} b_1', \dots, b_m' \end{eqnarray*}$ darstellen: $\begin{eqnarray*} f(b_j) = \sum_{i=1}^m a_{ij} b_i' \end{eqnarray*}$

Ich verstehe nicht, wieso ich nun drei Bildvektoren habe (für mich ist $\begin{eqnarray*} (0,1,2X) \end{eqnarray*}$ ein Bildvektor) und erst recht nicht, wie ich die(se) bezüglich der Basis $\begin{eqnarray*} B_1 \end{eqnarray*}$ ausdrücken soll.

12.12.2010, 17:59

system-agent

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Deine drei Basisvektoren sind $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} X^2 \end{eqnarray*}$ [in dieser Reihenfolge]. Das schreibt man gerne auch in der Form $\begin{eqnarray*} (1,X,X^2) \end{eqnarray*}$ , damit ist aber kein Vektor genannt [kann auch nicht sein, denn seine Einträge wären dann selbst schon Vektoren].

Die Bilder der Basisvektoren liefern natürlich wieder Vektoren.
Zum Beispiel für $\begin{eqnarray*} d(1)=0 \end{eqnarray*}$ . In der Basis $\begin{eqnarray*} (1,X,X^2) \end{eqnarray*}$ geschrieben wäre das
$\begin{eqnarray*} d(1)=0\cdot 1+0\cdot X+0\cdot X^2 \end{eqnarray*}$ [hier ist die $\begin{eqnarray*} 1 \end{eqnarray*}$ als das konstante Polynom gedacht, also ein Vektor aus dem Raum].
Das heisst bezüglich dieser Basis hat der Vektor $\begin{eqnarray*} d(1) \end{eqnarray*}$ den Koordinatenvektor $\begin{eqnarray*} (0,0,0) \end{eqnarray*}$ [das sind genau die Koeffizienten vor den Basisvektoren].

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