Restklassenringe

12.12.2010, 17:19

Tobiass

Restklassenringe

Meine Frage:
Zeigen Sie folgende Aussagen?

a) Für alle $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N _0 \end{eqnarray*}$ existiert eine ungerade natürliche Zahl $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} 5^{2^k}=m2^{k+2}+1 \end{eqnarray*}$ .

b) Für alle $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \setminus {1} \end{eqnarray*}$ hat $\begin{eqnarray*} \overline{5}\in \mathbb Z _{2^k} \end{eqnarray*}$ die multiplikative Ordnung $\begin{eqnarray*} 2^{k-2} \end{eqnarray*}$ .

Meine Ideen:
Mir ist klar, dass das ganze was mit Restklassenringen zu tun hat, aber ich hab überhaupt keinen Ansatz.

12.12.2010, 20:22

tmo

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Die a) z.b. mit Induktion.

Die b) ist dann nur eine Folgerung aus der a)

12.12.2010, 22:21

Tobiass

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Ich hab jetzt gezeigt, dass die Gleichung für k=1 richtig ist, d.h. m ist ungerade natürliche Zahl. Dann folgt aus der Richtigkeit für ein k folgende Gleichung für k+1:
$\begin{eqnarray*} m_{k+1}=m_k+\frac{5^{2^{2k}}-2\cdot 5^{2^k}+1}{2^{k+3}} \end{eqnarray*}$ . Also muss ich doch jetzt nur zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{5^{2^{2k}}-2\cdot 5^{2^k}+1}{2^{k+3}} \end{eqnarray*}$ eine gerade natürliche Zahl ist. Oder geht es irgendwie einfacher.

13.12.2010, 08:56

Tobiass

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Ich habe mich verrechnet, es muss heißen:
$\begin{eqnarray*} m_{k+1}=m_k+\frac{5^{2^{k+1}}-2\cdot 5^{2^k}+1}{2^{k+3}} \end{eqnarray*}$ . Aber ich muss trotzdem irgendwie zeigen, dass $\begin{eqnarray*} \frac{5^{2^{k+1}}-2\cdot 5^{2^k}+1}{2^{k+3}} \end{eqnarray*}$ eine gerade natürliche Zahl ist.

13.12.2010, 09:07

René Gruber

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Der Weg über

$\begin{eqnarray*} 5^{2^{k+1}} = 5^{2^k\cdot 2} = \left( 5^{2^k} \right)^2 = \left( m2^{k+2}+1 \right)^2 = \ldots \end{eqnarray*}$

scheint mir etwas zielgerichteter.

13.12.2010, 09:21

Tobiass

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Und wie komme ich da weiter, ich habe wahrscheinlich deine Idee noch nicht verstanden.

13.12.2010, 09:27

René Gruber

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Naja, du willst ja auf die Struktur $\begin{eqnarray*} m'2^{k+3}+1 \end{eqnarray*}$ mit einem ungeraden $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ kommen, nicht wahr?

13.12.2010, 09:30

Tobiass

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Ich hab jetzt noch nicht verstanden, warum du erstmal alles quadrierst.

13.12.2010, 09:35

Tobiass

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Kann ich so argumentieren:

$\begin{eqnarray*} \left( 5^{2^k} \right)^2= (m^2 +m)\cdot 2^{k+3} +1 \end{eqnarray*}$ ist ungerade, also ist $\begin{eqnarray*} (m^2 +m)\cdot 2^{k+3} \end{eqnarray*}$ gerade. Da aber $\begin{eqnarray*} 2^{k+3} \end{eqnarray*}$ gerade ist, muss $\begin{eqnarray*} m^2 +m \end{eqnarray*}$ auch gerade sein. Aber das bringt mich nicht wirklich weiter.

13.12.2010, 10:05

Tobiass

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Zitat:

Original von René Gruber
Naja, du willst ja auf die Struktur $\begin{eqnarray*} m'2^{k+3}+1 \end{eqnarray*}$ mit einem ungeraden $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ kommen, nicht wahr?

Eigentlich möchte ich ja auf $\begin{eqnarray*} m'2^{k+2}+1 \end{eqnarray*}$ mit einem ungeraden $\begin{eqnarray*} m' \end{eqnarray*}$ kommen.

13.12.2010, 10:50

René Gruber

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Es "bringt dich nicht weiter" ( Kotzen

zu diesem ekligen Spruch), weil du einfach falsch rechnest: Es ist

$\begin{eqnarray*} \left( m2^{k+2}+1 \right)^2 = m^22^{2k+4} + 2m2^{k+2}+1 = \left( m^22^{k+1}+m \right) 2^{k+3}+1 \end{eqnarray*}$ ,

und $\begin{eqnarray*} m':= m^22^{k+1}+m \end{eqnarray*}$ ist nun tatsächlich eine ungerade Zahl, sofern das auch für $\begin{eqnarray*} m \end{eqnarray*}$ zutrifft, was laut Induktionsvoraussetzung ja gesichert ist.

13.12.2010, 11:05

Tobiass

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Vielen Dank!!

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