Malwieder die vollständige Induktion

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Malwieder die vollständige Induktion
Meine Frage:
Wir sollen folgende Formel mit vollständiger Induktion beweisen.

wenn gilt n>=1
verwenden sollen wir ein Lemma, welches besagt 1+x<=e^x

Meine Ideen:
Der Induktions Anfang haut soweit hin

hab für n=1 eingesetzt und kam auf das Ergebniss 1=<1 (wahre Aussage)

Beim Induktionsschritt setzte ich n+1 ein und komme somit auf folgende Formel



mein nächster Gedanke wäre die linke seite folgender Maßen umzuformen



meine Frage an dieser Stelle wäre, ob es überhaupt erlaubt ist den Term so umzuformen? Oder ob ich schon anders an die Aufgabe ranzugehen haben.

gruß mö
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Malwieder die vollständige Induktion
Zitat:
Original von Mö
Beim Induktionsschritt setzte ich n+1 ein und komme somit auf folgende Formel



Setze erst einmal nur in die linke Seite n+1 ein und nutze dann die Vorraussetzung.

Zitat:
Original von Mö
mein nächster Gedanke wäre die linke seite folgender Maßen umzuformen



meine Frage an dieser Stelle wäre, ob es überhaupt erlaubt ist den Term so umzuformen?


geschockt Nein, das ist es nicht....

, hier gilt es, die Potenzgesetze zu beachten.
 
 
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RE: Malwieder die vollständige Induktion
ok
hoffe so stimmt es smile

lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Malwieder die vollständige Induktion
jap, so kann man es machen, wie schaut nun der Induktionssschluss aus?
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RE: Malwieder die vollständige Induktion
hm...
ich glaube ich könnte jetzt erstmal ne andere Schreibweise der Zahl 1 dazu multiplizieren



dadurch kann ich dann ein bisschen weggkürzen und umformen um die Induktions Vorraussetzung nutzen zu können



jezt weiß ich das der erste teil <= n! ist
jetzt müsst ich also zeigen, dass sich durch das dazu multiplizieren von



nichts daran ändert... dabei kann mir bestimmt das gegebene Lemma helfen
jedoch weiß ich grad nicht weiter traurig
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Malwieder die vollständige Induktion
Das meiste, was du gemacht hast ist überflüssig.

Was man gebrauchen kann ist folgendes:



Wir setzen links n+1 ein und erhalten:

.

Wende nun die Vorraussetzung an, ein wenig argumentieren gehört auch dazu Augenzwinkern

Vielleicht fällt es dir aber auch einfacher, von "rechts nach links" zu gehen, also rechts n+1 einzusetzen und auf die Vorraussetzung anzuwenden.
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RE: Malwieder die vollständige Induktion
hm... da steh ich grad irgendwie aufm schlauch Hammer
wie ist denn das gemeint mit die Vorraussetzung anwenden?
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Malwieder die vollständige Induktion
Na, du hast die Vorraussetzung .

Wenn du nun betrachtest, so kann man das als eine multiplikation von (n+1) mit der Ungleichung auffassen, da (n+1) mit Sicherheit positiv ist ändert sich auch nichts an der Relation.
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Das führt doch auf genau das, was Mö vor einigen Posts schon bemerkt hat, nämlich, dass zu zeigen ist.
Und dabei hilft in der Tat das Lemma.
lgrizu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Cugu
Das führt doch auf genau das, was Mö vor einigen Posts schon bemerkt hat, nämlich, dass zu zeigen ist.
Und dabei hilft in der Tat das Lemma.


Und in welchem Post hat er das bemerkt? verwirrt
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
jezt weiß ich das der erste teil <= n! ist jetzt müsst ich also zeigen, dass sich durch das dazu multiplizieren von nichts daran ändert... dabei kann mir bestimmt das gegebene Lemma helfen jedoch weiß ich grad nicht weiter traurig


Da war nur der kleine Fehler, dass der Term benötigt wird, um aus das gewünschte zu machen. Ansonsten war das Vorgehen aber richtig.
Auf diesen Beitrag antworten »

hm... also würde ich den weg von Cugu weitergehen
würde es dann reichen wenn ich zeige das

ist?
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Du musst doch zeigen.
Das hast du in umgeformt.
Dann hast du gesagt, dass nun einen Teil wegen ersetzen kannst.
Na dann bleibt doch wohl zu zeigen.
(Die linke Seite habe ich oben bei dir abgeschrieben und die rechte ist trivial. Man beachte, dass die Relation invariant gegenüber der Division durch ist. )
Wenn du noch den Hinweis von lgrizu benutzt, dass größer ist, dann erhälst du doch als zu zeigende Gleichung.
Die Antwort ist also, ja das reicht.

----

Noch ein Tipp: Zeig zunächst .
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könnte ich auch schreiben

=

so komm ich auf 1=1

ich hoffe jetzt nur das ich da nich irgendwas mit dem umformen der Klammer durcheinander gebracht habe....
Cugu Auf diesen Beitrag antworten »

Den Term ganz links hast du falsch abgeschrieben, ansonsten dürfte das richtig sein.

Zitat:
so komm ich auf 1=1

Nur so nebenbei:
Schreib auf gar keinen Fall sowas wie . Das ist Quatsch.
Was du benutzt ist die entgegengesetzte Richtung. Aber das sieht dann immer noch albern aus.
Auf diesen Beitrag antworten »

stimmt in den zähler muss natürlich ein n

ok dann bedankt ich mich für die schnelle hilfe von euch beiden ^^

schönen abend noch Wink
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